第3讲直线与圆锥曲线感悟高考明确考向(2010·浙江)已知m>1，直线l：x－my－m22＝0，椭圆C：x2m2＋y2＝1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．(1)当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．解(1) 直线l：x－my－m22＝0经过F2(m2－1，0)，∴m2－1＝m22，得m2＝2.又 m>1，∴m＝2.故直线l的方程为x－2y－1＝0.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＝my＋m22，x2m2＋y2＝1，消去x得2y2＋my＋m24－1＝0，则由Δ＝m2－8(m24－1)＝－m2＋8>0，知m2<8，且有y1＋y2＝－m2，y1y2＝m28－12.由于F1(－c,0)，F2(c,0)，故O为F1F2的中点．由G、H分别为△AF1F2、△BF1F2的重心，可知G(x13，y13)，H(x23，y23)，|GH|2＝(x1－x2)29＋(y1－y2)29.设M是GH的中点，则M(x1＋x26，y1＋y26)，由题意可知，2|MO|<|GH|，即4[(x1＋x26)2＋(y1＋y26)2]<(x1－x2)29＋(y1－y2)29，即x1x2＋y1y2<0.而x1x2＋y1y2＝(my1＋m22)(my2＋m22)＋y1y2＝(m2＋1)(m28－12)，∴m28－12<0，即m2<4.又 m>1且Δ>0，∴10，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用韦达定理，即作如下变形：|x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2，|y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．热点分类突破题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1已知实数m>1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为－1m2.(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)当m＝2时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t>0)与曲线C有且只有一个交点？思维启迪(1)直接法求点S的轨迹方程．（2）列方程组→解方程→判别式为0或Δ>0且直线过一个定点．解(1)设S(x，y)，则kSA＝y－0x＋m，kSB＝y－0x－m.由题意得y2x2－m2＝－1m2，即x2m2＋y2＝1(x≠±m)． m>1，∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.(2)当m＝2时，曲线C的方程为x22＋y2＝1(x≠±2)．由2x－y＋t＝0，x22＋y2＝1，消去y得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.①令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3， t>0，∴t＝3.此时直线l与曲线C有且只有一个公共点．②令Δ>0且直线2x－y＋t＝0恰好过点(－2，0)时，t＝22.此时直线与曲线C有且只有一个公共点．综上所述，当t＝3或22时，直线l...
