§3.3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.1几何概型课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案学习目标1.初步体会几何概型的意义，了解什么样的试验为几何概型．2．初步学会用几何概型的概率公式求一些简单的几何概型中事件的概率，并能在求解概率问题时分清是古典概型还是几何概型．3．学习中初步体验现代信息技术在数学学习和日常生活中的广泛应用，体会随机模拟中的统计思想(用样本估计总体)．古典概型的特征：(1)__________；(2)_______________课前自主学案温故夯基温故夯基有限性等可能性．1．事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的____________________________成_______，而与A的____________无关，满足以上条件的试验称为几何概型．知新益能知新益能几何度量(长度、面积或体积)正比位置和形状2．在几何概型中，事件A的概率定义为__________________，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．思考感悟概率为0的事件一定是不可能事件吗？概率为1的事件也一定是必然事件吗？提示：如果随机事件所在区域是一个单点，因单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0(即P＝0)，但它不是不可能事件；P(A)＝μAμΩ如果随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1(即P＝1)，但它不是必然事件．课堂互动讲练与长度有关的几何概型考点突破考点突破如图，A、B两盏路灯之间的距离是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？例例11【思路点拨】在A、B之间每一位置安装路灯C、D都是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型条件．【解】记E：“A与C，B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，则中间长度为30×13＝10米，∴P(E)＝1030＝13.【名师点评】我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．变式训练1在两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．解：记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，由几何概型的概率公式可得P(A)＝26＝13.所以灯与两端距离都大于2m的概率为13.如图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率．与“角度”有关的几何概型例例22【思路点拨】以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件．【解】记B＝{射线OA落在∠xOT内}， ∠xOT＝60°，∴P(B)＝60360＝16.【名师点评】(1)此题关键是搞清过O作射线OA可以在平面内任意作，而且是均匀的，因而基本事件的发生是等可能的．(2)如果试验结果所构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为P(A)＝事件A构成的区域角度试验的全部结果构成的区域角度.(3)解决此类问题的关键是确定事件A在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．变式训练2在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．解：如图所示，记事件F为“作射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°”，作射线OD，OE，使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°，则∠DOE＝60°－30°＝30°.当OC在∠DOE内时，事件F发生，故由几何概型概率公式得P(F)＝3090＝13.与面积有关的几何概型在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm、4cm、6cm，某人站在3m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？例例33【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：飞镖落入区域是边长为16cm的正方形．而要击中区域为三个不同的圆面，故该题型为与面积有关的几何概型问题．解答本题只需分别计算各区域的面积，以公式求解...
