第4讲平面向量高考要点回扣1．基本概念向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量．2．平面向量的和与差(1)A1A2＋A2A3＋…＋An－1An＝A1An.(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．(3)向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则．3．实数与向量的积实数λ与向量a的积是一个向量．(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0；(3)若a＝(x1，y1)，则λa＝(λx1，λy1)．4．平面向量基本定理若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2.5．向量的数量积|a|2＝a2＝a·a，a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2，cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y2y2x21＋y21x22＋y22，a在b上的投影＝|a|cos〈a，b〉＝a·b|b|＝x1x2＋y1y2x22＋y22.注意：〈a，b〉为锐角⇔a·b>0且a、b不同向；〈a，b〉为直角⇔a·b＝0且a、b≠0；〈a，b〉为钝角⇔a·b<0且a、b不反向．易错警示投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．如已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影为________．6．向量的平行与垂直设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.a⊥b(a≠0)⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.125精品回扣练习1．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a|·|b|，则tanx的值等于________．解析由|a·b|＝|a|·|b|知，a∥b，所以sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sinx＝cosx，即x＝π4，故tanx＝1.12．(2011·江西)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．解析 (a＋2b)·(a－b)＝|a|2－2|b|2＋a·b＝－2且|a|＝|b|＝2，∴a·b＝2，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝12.而〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝π3.π33．已知a＝(－3,1)，b＝(1，－2)，(－2a＋b)∥(a＋kb)，则实数k的值是________．解析 a＝(－3,1)，b＝(1，－2)，∴(－2a＋b)＝(7，－4)，(a＋kb)＝(－3＋k,1－2k)．又(－2a＋b)∥(a＋kb)，∴7×(1－2k)－(－3＋k)×(－4)＝0，∴k＝－12.－124．(2011·天津)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________．解析方法一以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA→＝(2，－x)，PB→＝(1，a－x)，∴PA→＋3PB→＝(5,3a－4x)，|PA→＋3PB→|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|PA→＋3PB→|的最小值为5.方法二设DP→＝xDC→(0
