第十二节导数的综合应用11．．通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为________________问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．只有一个极值点，那么该点也是最值点．22．利用导数研究函数的单调性和最．利用导数研究函数的单调性和最((极极))值等离不开方程与值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数，不等式的证明、不等式恒成不等式；反过来方程的根的个数，不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究．利用导数进行研究．优化3．解决优化问题的基本思想函数的极大值一定比极小值大吗？函数的极大值一定比极小值大吗？【提示】【提示】极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．1．(教材改编题)函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是()A．(－∞，－13]B．[－13，＋∞)C．[0，＋∞)D．(－∞，0)【解析】 f′(x)＝3ax2＋1，依题意f′(x)＝3ax2＋1有两个实根，∴a＜0.【答案】D22．．(2011·(2011·辽宁高考辽宁高考))已知函数已知函数ff((xx))＝＝eexx－－22xx＋＋aa有零点，则有零点，则aa的取值范围是的取值范围是________________．．【解析】【解析】函数函数ff((xx))＝＝eexx－－22xx＋＋aa有零点，即方程有零点，即方程eexx－－22xx＋＋aa＝＝00有实根，即函数有实根，即函数gg((xx))＝＝22xx－－eexx，，yy＝＝aa有交点，而有交点，而gg′′((xx))＝＝22－－eexx，易知函数，易知函数gg((xx))＝＝22xx－－eexx在在((－－∞∞，，ln2)ln2)上上递增，在递增，在(ln2(ln2，＋，＋∞∞))上递减，因而上递减，因而gg((xx))＝＝22xx－－eexx的值域为的值域为((－－∞∞，，2ln22ln2－－2]2]，所以要使函数，所以要使函数gg((xx))＝＝22xx－－eexx，，yy＝＝aa有有交点，只需交点，只需aa≤≤2ln22ln2－－22即可．即可．【答案】【答案】((－－∞∞，，2ln22ln2－－2]2]33．．(2012·(2012·青岛质检青岛质检))已知某生产厂家的年利润已知某生产厂家的年利润yy((单位：万元单位：万元))与年产量与年产量xx((单位：万件单位：万件))的函数关系式为的函数关系式为yy＝－＝－xx33＋＋8181xx－－223434，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________________万万件．件．【解析】 y＝－13x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x＞0)．令y′＝0得x＝9，令y′＜0得x＞9；令y′＞0得0＜x＜9.∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，∴当x＝9时，函数取得最大值．【答案】944．已知．已知ff((xx))＝＝11＋＋xx－－sinsinxx，试比较，试比较ff(2)(2)，，ff(3)(3)，，ff(π)(π)的大小的大小为为________________．．【解析】【解析】ff′′((xx))＝＝11－－coscosxx，当，当xx∈∈(0(0，，π]π]时，时，ff′′((xx))＞＞0.0.∴∴ff((xx))在在(0(0，，π]π]上是增函数，上是增函数，∴∴ff(π)(π)＞＞ff(3)(3)＞＞ff(2)(2)．．【答案】【答案】ff(π)(π)＞＞ff(3)(3)＞＞ff(2)(2)已知函数已知函数ff((xx))＝＝xxlnlnxx..(1)(1)求函数求函数ff((xx))的最小值；的最小值；(2)(2)试讨论关于试讨论关于xx的方程的方程ff((xx))－－mm＝＝0(0(mm∈∈R)R)的实根个数．的实根个数．【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)求求ff′′((xx))，当，当xx∈∈(0(0，＋，＋∞∞))时，判定时，判定ff′′((xx))的正负变化，求出的正负变化，求出ff((xx))的最值．的最值．(2)(2)由由ff((xx))的单调性与极值，的单调性与极值，数形结合求解．数形结合求解．导数在方程(函数零点)中的应用【尝试解答】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1＋lnx.令f′(x)＝0，∴1＋lnx＝0，则x＝1e.当0＜x＜1...
