3.3《一元二次不等式及其解法》教学目标•掌握一元二次不等式的解法•教学重点：一元二次不等式的解法考察下面含未知数x的不等式：15x2+30x－1>0和3x2+6x－1≤0.这两个不等式有两个共同特点：（1）含有一个未知数x；（2）未知数的最高次数为2.一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式。一元二次不等式的一般表达式为ax2+bx+c>0(a≠0)，或ax2+bx+c<0(a≠0)其中a，b，c均为常数。一元二次不等式一般表达式的左边，恰是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式，即f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，一元二次不等式f(x)>0，或f(x)<0(a≠0)的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合。一元二次方程f(x)=0(a≠0)的解集，就是使二次函数f(x)为零时自变量x的取值的集合。因此二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间有非常密切的联系。下面我们通过实例，研究一元二次不等式的解法，以及它与相应的方程、函数之间的关系。例如解不等式：（1）x2－x－6>0；（2）x2－x－6<0.我们来考察二次函数f(x)=x2－x－6=的图象和性质。2125()24x方程x2－x－6=0的判别式于是可知这个方程有两个不相等的实数根,解此方程得x1=－2，x2=3.141(6)250建立直角坐标系xOy，画出f(x)的图象，它是一条开口向上的抛物线，与x轴的交点是M(－2，0)，N(3，0)，(12,-254)-3-2-1123-1-2321Oyx(12,-254)-3-2-1123-1-2321Oyx观察这个图象，可以看出，抛物线位于x轴上方的点的纵坐标大于零，因此这些点的横坐标的集合A={x|x<－2或x>3}是一元二次不等式x2－x－6>0的解集。抛物线位于x轴下方的点的纵坐标小于零，因此这些点的横坐标的集合B={x|－20；若x>3，同样可推知(x+2)(x－3)>0。当x∈B时，即－20，x－3<0，因此(x+2)(x－3)<0，不等式（1）和（2）还可以通过下述方法求解：（1）因为x2－x－6=(x+2)(x－3)，所以解x2－x－6>0，就是解(x+2)(x－3)>0,相对于解不等式组或，解这两个不等式组得x>3或x<－2.2030xx2030xx（2）因为x2－x－6=(x+2)(x－3)，所以解x2－x－6<0，就是解(x+2)(x－3)<0，相对于解不等式组或，解这两个不等式组得－20；（2）x2－2x+3<0.分析：考察方程x2－2x+3=0的判别式△=(－2)2－4×1×3<0,二次函数的图象位于x轴的上方（如图），这时对于任意的实数x，都有x2－2x+3>0。-1123-1321Oyx-1123-1321Oyx解：对于任意实数x，x2－2x+3=(x－1)2+2>0，因此不等式（1）的解集为实数集R，不等式（2）无解，或说它的解集为空集.通过以上两例，我们不难对一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)和ax2+bx+c<0(a>0)解集的形式作一般性的分析。设方程ax2+bx+c=0(a>0)的判别式为△。（1）当△>0时，二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根x1，x2，（设x10的解集是(－∞，x1)(∪x2，+∞)，不等式ax2+bx+c<0的解集是(x1，x2).简单的说是：大于在两边，小于在中间。x2x1Oyx（2）当△=0时，通过配方得，-b2aOyx2224()()242bacbbyaxaxaaa由图可知，ax2+bx+c>0的解集是的全体实数，即ax2+bx+c<0的解集是空集，即不等式无解。2bxa(,)(,)22bbaa（3）当△<0时，二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象在x轴上方，由此可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是实数集R，不等式ax2+bx+c<0的解集是空集。例2．解不等式1－x－4x2>0.解：原不等式化为4x2+x－1<0，因为△=12－4×4×(－1)>0，方程4x2+x－1=0的根是12117117,88xx所以不等式的解集是117117{|}88xx例3．解不等式x2+4x+4>0.解：因为△=42－4×1×4=0，原不等式化为(x+2)2>0，所以不...
