知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练第22讲离散型随机变量的分布列、均值与方差(理)知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理1.离散型随机变量的分布列(1)定义:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时为了表达简单,也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.(2)性质①pi≥0(i=1,2,…,n);②∑𝑖=1𝑛pi=1.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理2.离散型随机变量X的均值与方差均值(数学期望)方差计算公式E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpnD(X)=∑i=1n(xi-E(X))2pi作用反映了离散型随机变量取值的平均水平刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度标准差方差的算术平方根ඥD(X)为随机变量X的标准差3.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为常数).(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理4.条件概率与事件的相互独立(1)定义:设A,B为两个事件,如果P(AB)=P(A)·P(B),则称事件A与事件B相互独立.(2)性质:①若事件A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A),P(AB)=P(A)·P(B).②如果事件A与B相互独立,那么A与𝐵,𝐴与B,𝐴与𝐵也都相互独立.(3)条件概率条件概率的定义条件概率的性质设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1;(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理5.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,Ai(i=1,2,…,n)表示第i次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)…P(An).(2)二项分布在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率是p,此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率,在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).(3)二项分布的均值与方差若随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).C𝑛𝑘知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理6.超几何分布(1)定义:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=𝐶𝑀𝑘𝐶𝑁-𝑀𝑛-𝑘𝐶𝑁𝑛,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,即如果随机变量X的分布列具有下表形式X01…mP𝐶M0𝐶N-Mn-0𝐶Nn𝐶M1𝐶N-Mn-1𝐶Nn…𝐶Mm𝐶N-Mn-m𝐶Nn则称随机变量X服从超几何分布.(2)均值若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则E(X)=𝑛𝑀𝑁.知识梳理典例变式基础训练能力提升真题演练知识梳理7.正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(3)曲线在x=μ处达到峰值1𝜎ξ2π;(4)曲线与x轴之间的面积为1;(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.【注意】正态分布的三个常用数据(1)P(μ-σ
