高考数学一轮单元复习 第40讲 空间向量解决线面位置关系课件VIP免费

知识梳理位置向量1．点、直线、平面的位置用向量表示(1)在空间中取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示．把向量称为点P的．(2)空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定：在直线l上取＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得＝.这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点．(3)空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定：设这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α上任意一点，存在有序实数对(x，y)，使得这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α内的任意一点．＝xa＋yb2．平面的法向量直线lα⊥，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的．利用法向量也可以表示空间中平面的位置．3．共线向量及有关结论(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做向量或向量．(2)对空间任意两个向量a，b(b≠0)，ab∥的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.法向量平行共线(3)l为经过已知点A且方向向量为a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使，①(①式称为空间直线的向量表示式)，在l上取，则①式可化为.(②②式也称为空间直线的向量表示式)．共线4．共面向量及有关结论(1)平行于同一个平面的向量，叫做向量．(2)三个向量共面定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使；或对空间任意一点O，有.(③③式称为空间平面ABC的向量表示式)(4)点P，A，B，C四点共面的充要条件是：空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式5．利用空间向量判定线面位置关系的方法(1)设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l∥αu⊥vu·v＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0，l⊥αu∥vu＝kv(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(2)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则l∥ma∥ba＝kb，k∈R；l⊥ma⊥ba·b＝0；l∥αa⊥ua·u＝0；l⊥αa∥ua＝ku，k∈R；α∥βu∥vu＝kv，k∈R；α⊥βu⊥vu·v＝0.探究点1空间中的点共线、点共面问题要点探究例1[2009·四川卷]如图40－1所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，证明：C、D、F、E四点共面．【解答】由平面ABEF⊥平面ABCD，AFAB⊥，得AF⊥平面ABCD，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，射线AD为y轴正半轴，射线AF为z轴正半轴，建立如图40－2所示的直角坐标系A－xyz.设AB＝a，BC＝b，BE＝c，则【思路】【点评】本题利用向量共线证明了点共面，注意向量共线(平行)与直线平行的区别．此法也可以证明点共线，如下变式题：B(a,0,0)，C(a，b,0)，E(a,0，c)，D(0,2b,0)，F(0,0,2c)，＝(0，b，－c)，＝(0,2b，－2c)，故，从而由点EFD，得EC∥FD，故C、D、F、E四点共面．变式题证明：四面体中连接对棱中点的三条线段交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心)．探究点2证明平行关系例2[2009·浙江卷]如图40－4所示，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E、F、O分别为PA、PB、AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE.【解答】如图40－5，连接OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)，由题意得，G(0,4,0)，∴＝(8,0,0)，＝(0，－4,3)，设平面BOE的法向量为n＝(x，y，z)，则即8x＝0，－4y＋3z＝0.取x＝0，y＝3，z＝4得平面BOE的法向量为n＝(0,3,4)． ＝(－4,4，－3)，∴n·＝0，又直线FG不在平面BOE内，∴FG∥平面BOE.【点评】判定线面平行，可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，注意法向量的取法．也可以利用共面向量定理，如下变式题：如图40－6所示，在梯形ABCD中，AB...