高中数学 第2章 解三角形 23 解三角形的实际应用课件 北师大版必修5 课件VIP专享VIP免费

§3解三角形的实际应用举例1．仰角与俯角：目标方向线(视线)与水平线的夹角中，当目标(视线)在水平线上方时，称为________，在水平线_______时，称为__________仰角下方俯角导导2．方向角：相对于某一正方向(东、西、南、北)的水平角．①北偏东α°，即由指北方向________旋转α°到达目标方向.②北偏西α°，即是由指北方向________旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．逆时针顺时针导导3．方位角：指北方向线_______到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向（指经过目标的射线是正东和正北的夹角平方线）。顺时针导导思考1：自动卸货汽车采用液压机构．设计时需要计算油泵顶杠BC的长度，如图1所示．已知车厢的最大仰角为60°(指车厢AC与水平线夹角)，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1.40m．计算BC的长度(结果精确到0.01m)．图1图2解：由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝1.952＋1.402－2×1.95×1.40cos66°20′[来源:学_科_网]≈3.571，所以BC≈1.89(m)．答：顶杆BC约长1.89m.思思探究一：测量距离问题要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距1003米的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，求A、B两地的距离．解：如图所示，在△ACD中，∠CAD＝180°－(120°＋30°)＝30°由正弦定理，得BC＝1003sin75°sin60°＝200sin75°.∴AC＝CD＝100在△BCD中，∠CBD＝180°－(45°＋75°)＝60°.3议议在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(1003)2＋(200sin75°)22×1003×200sin75°·cos75°＝1002(3＋4×1－cos150°2－2×3×sin150°)＝1002×5，∴AB＝1005.答：A、B两地间的距离为1005米．方法：构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．展展探究二：测量高度问题解：在△BC1D1中，∠BD1C1＝180°－60°＝120°，∠C1BD1＝60°－45°＝15°，由正弦定理，得C1D1sin∠C1BD1＝BC1sin∠BD1C1，BC1＝C1D1sin∠BD1C1sin∠C1BD1＝12sin120°sin15°＝(182＋66)(m)，从而A1B＝22BC1＝18＋63≈28.392(m)，因此AB＝A1B＋AA1≈28.392＋1.5＝29.892≈29.89(m)．答：烟囱的高约为29.89m.如图3所示，两点C，D与烟囱底部在同一水平直线上，在点C1，D1，利用高为1.5m的测角仪器测得烟囱的仰角分别是α＝45°和β＝60°，C，D间的距离是12m．计算烟囱的高AB(结果精确到0.01m)．图3图4议议[方法总结]在测量高度时，要理解仰角和俯角的概念，区别在于视线在水平线的上方还是下方，一般步骤是：①根据已知条件画出示意图；②分析与问题有关的三角形；③运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解；④把解出答案还原到实际问题中．评评探究三：测量角度问题在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需时间。议议设缉私船用t小时在D处追上走私船．在△ABC，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，∴BC＝6.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠ABC＝ACBCsin∠BAC＝22，∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．解：展展∴∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得CDsin∠CBD＝BDsin∠BCD，∴103tsin120°＝10tsin∠BCD，∴sin∠BCD＝12，∴∠BCD＝30°.故缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船．又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝6.∴t＝610小时≈15分钟．即约需要15分钟.在某时刻，A点西400km的B处是台风中心，台风以每小时40km的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心、300km为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，大约经过多长时间A进入台风圈？A处在台风圈中的时间有多长(结果保留根号)?检检课堂小结：解生活实际问题的一般步骤；(1)分析题意，准确理解题意．(2)根据题意画出示意图．(3)分析与问题有关的三角形，运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解；(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．