第5讲不等式感悟高考明确考向(2010·山东)若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是____________．解析 a≥xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3对任意x>0恒成立，设u＝x＋1x＋3，∴只需a≥1u恒成立即可． x>0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．由u≥5知0<1u≤15，∴a≥15.15，＋∞考题分析本题以不等式恒成立为背景考查了基本不等式、二次不等式恒成立等问题．若将问题转化为求xx2＋3x＋1的最大值，可作如下变形：xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤15；若将问题转化为：ax2＋(3a－1)x＋a≥0对任意x恒成立，则利用二次不等式恒成立解决．体现了转化与化归的数学思想方法．易错提醒(1)忽视不等号方向的变化，易错答为：(－∞，15]．(2)在利用基本不等式时，要注意验证正、定、等．(3)在研究ax2＋(3a－1)x＋a≥0对任意x>0恒成立时，易忽略对对称轴x＝－3a－12a<0的约束.主干知识梳理1．不等式的基本性质(1)对称性：a>b⇔b
b，b>c⇒a>c.(3)加法法则：a>b⇔a＋c>b＋c.(4)乘法法则：a>b，c>0⇒ac>bc.a>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d.(6)同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)．2．一元二次不等式的解法解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)，可利用一元二次方程，一元二次不等式和二次函数间的关系．一元二次不等式的解集如下表所示：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集{x|x>x2或x0)的解集{x|x10，b>0)．(4)ab≤(a＋b2)2(a，b∈R)．(5)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b(a>0，b>0)．4．不等式的证明基础(1)不等式定义：a－b>0⇔a>b，a－b＝0⇔a＝b，a－b<0⇔a0，b>0)．热点分类突破题型一比较大小与不等式正误的判断例1设a、b是非零实数，若a0，或用特殊值法．③解析令a＝－2，b＝1，符合ab2，故①不正确；令a＝1，b＝2，符合aba2，ba>ab，故②、④不正确； a2b2>0且ab，c>d⇔a＋c>b＋d②a>b，c>d⇒ad>bc③a2>b2⇔|a|>|b|；④a>b>0⇔1a<1b解析①不正确，a>b，c>d是a＋c>b＋d成立的充分而不必要条件．如a＝10，b＝2，c＝－1，d＝2时有a＋c>b＋d但推不出c>d.②不正确．不等式的同向可乘性须满足a>b>0，c>d>0.③正确．④不正确．由1a<1b可得①ab>0时，a>b；②ab<0时ab>0是1a<1b成立的充分而不必要条件．③题型二解不等式例2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.思维启迪先求出相应方程的根，再就两根的大小进行讨论．解原不等式可化为(x－1)(ax－1)<0.(1)当a＝0时，原不等式化为－x＋1<0，∴x>1，所以原不等式的解集为{x|x>1}；(2)当a<0时，原不等式化为(x－1)(x－1a)>0，又1a<0，∴x<1a，或x>1，所以原不等式的解集为{x|x<1a或x>1}；(3)当a>0时，原不等式化为(x－1)(x－1a)<0，对应方程(x－1)(x－1a)＝0的两根为1和1a.①当01，∴11时，1a<1，∴1a1}；当a＝0时，解集为{x|x>1}；当01时，解集为{x|1a0(<0)时，讨论的次序：(1)对x2项的系数a分a>0，a＝0，a<0进行讨论；(2)当a≠0时，对判别式Δ＝b2－4ac...
