2.4.2抛物线的简单几何性质学习目标重点难点1.能根据抛物线的方程推导出它的几何性质.2.能应用抛物线的性质解决有关问题.重点:抛物线的几何性质.难点:抛物线几何性质的运用.1.抛物线的几何性质类型y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图象焦点,02p,02p0,2p0,-2p准线x=-2px=2py=-2py=2p范围x≥0x≤0y≥0y≤0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e=1开口方向向右向左向上向下预习交流1抛物线与双曲线的一支是否相同?提示:抛物线与双曲线的一支不相同.双曲线的一支有渐近线,离心率e>1;抛物线没有渐近线,它的离心率是唯一的,e=1.2.焦半径与焦点弦抛物线上的点到焦点的距离叫做焦半径,过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦.设抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P(x0,y0),焦点弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),则焦半径|PF|=x0+p2,焦点弦|AB|=x1+x2+p.特别地,过抛物线的焦点F作垂直于对称轴的直线,交抛物线于A,B两点,则线段AB称为抛物线的“通径”,由Ap,p2,Bp,-p2可知通径的长|AB|等于2p.预习交流2抛物线x=3y2的通径长等于.提示:抛物线方程化为y2=13x,2p=13,故其通径长为13.3.直线与抛物线的位置关系若直线平行或重合于对称轴,则直线与抛物线只有一个公共点;若直线不平行于对称轴,则直线与抛物线有相切、相交、相离三种情况.预习交流3若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线相切,对吗?提示:不正确,若直线与抛物线相切,则它们只有一个公共点,但当直线与抛物线只有一个公共点时,直线不一定与抛物线相切,还可能是相交,这时直线与抛物线的对称轴平行或重合.这一点与圆、椭圆是不同的,要注意区别.一、抛物线几何性质的应用已知抛物线的焦点为F(5,1),准线为x=1,求抛物线的方程、焦点到顶点的距离、顶点坐标.思路分析:先利用抛物线定义求出抛物线方程,再根据焦点到顶点的距离是焦点到准线的距离的一半求解.解:由抛物线的定义知,抛物线上任一点M(x,y)满足22(x5)(y1)=|x-1|,整理得(y-1)2=8(x-3).由抛物线的几何性质知,焦点到顶点的距离为焦准距的一半,即512=2.顶点的横坐标为x=512=3,纵坐标为y=1,即顶点坐标为(3,1)1.抛物线y2=2px(p>0)上一点M的纵坐标为-42,该点到准线的距离为6,则抛物线方程为.答案:y2=16x或y2=8x解析:由于抛物线的准线方程是x=-p2,而点M到准线的距离为6,所以M点的横坐标是6-p2,于是Mp6,-422,代入方程得32=2pp62,解得p=8或p=4,故方程为y2=16x或y2=8x.2.已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p=.答案:2解析:圆x2+y2-6x-7=0的圆心为(3,0),半径为4,抛物线y2=2px的准线为x=-p2.由p32=4,得p=2或-14(舍).注意抛物线各元素间的关系:抛物线的焦点始终在对称轴上,抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点,抛物线的准线始终与对称轴垂直,抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.二、抛物线的焦点弦已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.思路分析:(1)由倾斜角可知斜率,从而得到l的方程,与抛物线方程联立,结合抛物线定义可求得|AB|的值;(2)由|AB|=9求得弦AB中点的横坐标即可求得M到准线的距离.解:(1)因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan60°=3.又F3,02,所以直线l的方程为y=33x2.联立2y6x,3y3x2,消去y得x2-5x+94=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5,而|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p,所以|AB|=5+3=8.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+3,所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x=-32,所以M到准线的距离为3+3922.1.设AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为().A.p2B.pC.2pD.无法确定答案:C解析:当AB垂直于对称轴时,|AB|取最小值,此时AB即为抛物线的通径,长度等于2p.2.过抛物线y2=2px的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若A,B在准线上的射影为A1,B1,则∠A1FB1等于().A.45°B.90°C.60°D.120°答案:B解析:...
