3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算第1课时对数的概念、常用对数目标导航课标要求1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化.2.理解对数的底数和真数的范围,掌握对数的基本性质及对数恒等式.素养达成通过对数概念的学习,培养数学抽象与数学运算的核心素养.新知探求课堂探究新知探求·素养养成点击进入情境导学知识探究1.对数的概念指数函数y=ax(a>0且a≠1),那么叫做以为底的对数,记作x=logay,读作x等于.一般地,对于指数式ab=N,有b=logaN(a>0,且a≠1),其中,数a叫做,N叫做.幂指数xay以a为底y的对数对数的底数真数2.对数恒等式是(a>0且a≠1).3.对数logaN(a>0且a≠1)的性质(1)没有对数,即;(2)的对数为0,即;(3)的对数等于1,即logaa=1.4.常用对数以为底的对数叫做常用对数,log10N记作.logaNa=N0和负数N>01loga1=0底数10lgN1.(2018·甘肃兰州五十三中期中)如果N=a2(a>0且a≠1),则有()(A)log2N=a(B)log2a=N(C)logNa=2(D)logaN=2自我检测D解析:因为N=a2(a>0且a≠1),所以2=logaN,故选D.2.若log8x=-23,则x的值为()(A)14(B)4(C)2(D)12A解析:因为x=238=2332=2-2=14,故选A.3.函数f(x)=2x+lg(3x+1)的定义域是()(A)(-13,+∞)(B)(-13,2](C)[-2,13)(D)(-∞,2]B解析:函数f(x)=2x+lg(3x+1)的定义域需满足20,310,xx解得-130,a≠1且N>0时,才有ax=N⇔x=logaN.变式训练1-1:(1)若log5x=2,则x=;(2)若loga2=m,loga3=n,则a2m+n=.解析:(1)由指数式与对数式互化公式得x=52=25.(2)因为loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3,所以a2m+n=(am)2·an=4×3=12.答案:(1)25(2)12类型二对数基本性质的应用解:(1)因为log3(x2-1)=0,所以2210,11,xx所以x=±2.【例2】求下列各式中x的值:(1)log3(x2-1)=0;解:(2)因为logx+3(x2+3x)=1,所以2233,30,3031,xxxxxxx①②且③解①得,x=-3或x=1.当x=-3时,不满足②和③,当x=1时,满足②和③,故x=1.(2)logx+3(x2+3x)=1.方法技巧有关“底数”和“1”的对数,可利用对数的性质知其值为“1”和“0”,化为常数.变式训练2-1:求下列各式中x的值:(1)log2(log5x)=0;(2)log3(lgx)=1.解:(1)因为log2(log5x)=0,所以log5x=20=1,所以x=51=5.(2)因为log3(lgx)=1,所以lgx=31=3,所以x=103=1000.类型三由对数的定义及对数恒等式求值【例3】求下列各式的值:(1)2log102;(2)51log25;(3)31log429;(4)31log53-24log32+103lg3+(12)2log5.思路点拨:利用对数恒等式logaNa=N及幂的运算求解.解:(1)2log102=10.(2)51log25=5·5log25=5×2=10.(3)31log429=3log4129=3log43=4.(4)31log53-24log32+103lg3+(12)2log5=3·3log53-24·2log32+(10lg3)3+(2log52)-1=3×5-16×3+27+15=-295.方法技巧对数恒等式是利用对数定义推出的,要注意结构特点:(1)它们是同底的;(2)指数中含有对数形式;(3)其值为对数的真数.变式训练3-1:计算:(1)71log57;(2)10lg9+lg2;(3)logaba·logbcb(a,b为不等于1的正数,c>0).解:(1)原式=7×7log57=7×5=35.(2)原式=10lg9×10lg2=9×2=18.(3)原式=bc.
