高考数学一轮单元复习 第41讲 空间角与距离的求法课件VIP免费

知识梳理锐角或直角1．空间角(1)异面直线所成的角a，b为两条异面直线，过空间任意一点O，作aa′∥，bb′∥，a′、b′相交所成的θ叫做异面直线a，b所成的角．若直线a，b的方向向量为a，b，则cosθ＝|cos〈a，b〉|.(2)直线和平面所成的角平面α的一条斜线a和它在这个平面上的射影所成的θ叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，它们所成的角为；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．若直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉|.(3)二面角的平面角二面角的大小可以用平面角表示．若平面α和平面β的法向量分别为n1，n2，则|cosAOB|∠＝|cos〈n1，n2〉|.锐角直角任意2．空间距离(1)点到平面的距离一点P到它在一个平面α内射影的距离，叫做点P到这个平面α的距离．若A为平面α内任一点，n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离(2)直线和与它平行的平面的距离一条直线上的一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．(3)两个平行平面的距离和两个平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段，两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离．探究点1异面直线所成的角例1[2008·安徽卷]如图41－1所示，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝π4，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．(1)证明：直线MN∥平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小．【思路】建立空间直角坐标系，证明MN与平面OCD的法向量垂直，利用直线AB，MD的方向向量求它们所成的角．【点评】用几何法求异面直线所成的角，要经过直线平移去找异面直线所成的角，有时此角也不太容易找到．但利用向量求异面直线所成的角只要建立空间直角坐标系后，表示出两直线的方向向量，代入公式即可求异面直线所成的角．除了坐标法外，也可以利用基向量求，如下变式题：变式题已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段，又AB＝4，AC＝6，BD＝8，求AB与CD所成角的余弦值．探究点２直线和平面所成的角例2如图41－4所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝7，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E.(1)证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；(2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．【思路】建立空间直角标系后，表示出直线的方向向量和平面的法向量，代入公式即可求直线与平面所成的角．【点评】解答时注意直线的方向向量与平面的法向量所成的角(或其补角)与所求线面角互余．建系时要充分利用图形的特点，使点的坐标易写，如本题的建系方法．当有两两垂直的三条直线时，就可以它们为坐标轴建系，如下变式题：变式题在正方体ABCD－A1B1C1D1中，F是BC的中点，点E在D1C1上，且D1E＝D1C1，试求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值．探究点３二面角例３[2009·上海卷]如图41－8所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，ABBC⊥，求二面角B1－A1C－C1的大小．【思路】建立空间直角坐标系，表示两平面的法向量，代入公式即可．【点评】向量法求二面角时要注意直观判断二面角是锐二面角还是钝二面角，以确定平面角的大小，这是易错的地方．探究点４两点间的距离例４把长、宽分别为、2的长方形ABCD沿对角线AC折成60°的二面角，求顶点B和D的距离．32【点评】向量法求两点间的距离，实质是求这两点连成的向量的模，可以用坐标法，也可以用基向量法．如下变式题：变式题在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．探究点５点到面的距离例５在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；(2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值的大小；(3)求点N到平面ACM的距离．【思路】建立空间直角坐标系，求出平面ACM的法向量，代入公式求点到平面的距离．【点评】点面距公式中该点与平面内任一点连成的向量要灵活选择(易求坐标为原则)．其他线面距、面面距都可以转化为点面距求．规律总结1．角的计算...