第十章排列组合和二项式定理第一节两个计数原理知识自主·梳理最新考纲掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．高考热点以选择题或填空题的形式考查两个计数原理的应用以及对实际问题的分析处理能力.1.分类计数原理与分步计数原理的概念(1)完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办法，则完成这件事的不同方法数是各类不同方法种数的和，这就是原理．(2)完成一件事，需要分成步骤，每一步的完成，则完成这件事的不同方法种数是，这就是分步计数原理．分类计数几个有多种不同的方法各步中不同的方法数的乘积2．分类计数原理与分步计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理，都是涉及的不同方法的种数．它们的区别在于：分类计数原理与有关，各种方法，用其中任一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与有关，各个步骤，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成了．完成一件事相互独立分步相互依存分类1．“分类”与“分步”，应该如何理解？(1)分类：“做一件事，完成它可以有n类办法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．重点辨析(2)分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤．分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成．2．分类计数原理与分步计数原理，如何选用？两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关．如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步计数原理.方法规律·归纳题型一分类计数原理的应用思维提示要根据元素的不同的性质进行分类，关键在于分类标准.例1高三(1)班有学生50人，男30人，女20人，高三(2)班有学生60人，男30人，女30人；高三(3)班有学生55人，男35人，女20人．(1)从高三(1)班或(2)班或(3)班选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三(1)班、(2)班男生中，或从高三(3)班女生中选，有多少种不同的选法？[分析]具备分类计数原理的条件．[解](1)从高三(1)班50人中选一人有50种选法；从高三(2)班60人中选一人有60种选法；从高三(3)班中选一人有55种选法，∴共有50＋60＋55＝165(种)．(2)从高三(1)、(2)班男生中选有30＋30＝60(种)，从高三(3)班女生中选有20种，∴共有30＋30＋20＝80(种)．[规律总结]运用分类计数原理时，首先要根据问题的特点，确定分类标准，分类应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类而且仅属于某一类，即“类”与“类”间有独立性与并列性.备选例题1三边长均是正整数，且最大边边长为11的三角形的个数为()A．25B．26C．36D．37解析：另两边边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.分情况讨论：(1)当y取值11时，x＝1,2,3，…，11，可构成三角形11个；(2)当y取值10时，x＝2,3,4，…，10，可构成三角形9个；(3)当y取值9时，x＝3,4,5，…，9，可构成三角形7个；(4)当y取值8时，x＝4,5,6,7,8，可构成三角形5个；(5)当y取值7时，x＝5,6,7，可构成三角形3个；(6)当y取值6时，x＝6，可构成三角形1个．∴由分类计数原理得满足条件的三角形个数为N＝11＋9＋7＋5＋3＋1＝36答案：C题型二分步计数原理的应用思维提示要根据事件发生的过程进行分步，关键在于正确设计分步程序例2已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：(1)P可表示平面上多少个不同的点？(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？...
