高考数学一轮单元复习 第38讲 空间中的垂直关系课件VIP免费

知识梳理1．两条直线互相垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且夹角为，则称这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)定义如果直线a与平面α内的直线都垂直，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作a⊥α.直线a叫做平面α的，平面α叫做直线a的，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做．直角任意一条垂线垂面垂足(2)直线和平面所成的角一条直线PA和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的，斜线和平面的交点A叫做．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的．平面的一条斜线和它在这个平面上的射影所成的，叫做．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是的角．直线和平面所成角的范围是.斜足斜线射影锐角这条直线和这个平面所成的角直角0°20,(3)直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表示为(4)直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行．符号表示为.lObabablal.//baba两条相交3．平面与平面垂直(1)二面角和二面角的平面角的定义①从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α，β的二面角记作二面角，如果棱为l，那么这个二面角记作.②在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的．二面角α－AB－βα－l－β平面角二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．二面角的取值范围是[0，π]．平面角是直角的二面角叫做．(2)平面与平面垂直的定义一般的，两个平面α和β相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．记做α⊥β.(3)平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直．符号表示为.aa直二面角直二面角垂线.laala(4)平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内直线与另一个平面垂直．符号表示为垂直于交线的探究点1线面垂直的证明要点探究例1Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点，如图39－1所示．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.【思路】(1)要证线面垂直，就要利用判定定理．(2)利用判定定理，证明BD与平面SAC内的两条相交的直线都垂直来解决问题．【解答】(1)取AB中点E，连接SE，DE.在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DE∥BC，且DE⊥AB， SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB. DE⊥AB，SE∩DE＝E，∴AB⊥面SDE.而SD面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又 SD⊥AB，AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)若AB＝BC，则BD⊥AC.由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD面ABC，∴SD⊥BD. SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.【点评】线面垂直就是证明直线与平面内两条相交直线垂直，本题利用等腰三角形来证明线线垂直，进而证明线面垂直．证明线线垂直还可以利用勾股定理，菱形的对角线互相垂直，直径所对的圆周角是直角及线面垂直的性质等方法，如变式题：变式题如图39－3所示，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，AE⊥PC于E，求证：AE⊥平面PBC.【思路】在平面PBC内寻找两条相交直线与AE垂直．【解答】设⊙O所在平面为α，由已知条件知PA⊥α，而BC在α内，所以PA⊥BC.因为点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是⊙O的直径，所以∠BCA是直角，即BC⊥AC.又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，所以BC⊥平面PAC，故BC⊥AE.又AE⊥PC，PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC.探究点2线面垂直的证明例2[2009·北京卷]如图39－4所示，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的...