椭圆的几何性质（1）一．课题：椭圆的几何性质（1）二．教学目标：1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响.三．教学重、难点：目标1；数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质.四．教学过程：（一）复习：1．椭圆的标准方程.（二）新课讲解：1．范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)xy满足不等式22221,1xyab，∴22xa，22yb，∴||xa，||yb，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里.2．对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(,)xy在曲线上时，点(,)xy也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3．顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令0x，得yb，则1(0,)Bb，2(0,)Bb是椭圆与y轴的两个交点。同理令0y得xa，即1(,0)Aa，2(,0)Aa是椭圆与x轴的两个交点.所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段21AA、21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在22RtOBF中，2||OBb，2||OFc，22||BFa，且2222222||||||OFBFOB，即222cac．4．离心率：1A2A2B2AOxy2F椭圆的焦距与长轴的比cea叫椭圆的离心率.∵0ac，∴01e，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，0c，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya．（三）例题分析：例1．求椭圆221625400xy的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并画出图形．解：把已知方程化为标准方程22221xyab，5a，4b，∴25163c，∴椭圆长轴和短轴长分别为210a和28b，离心率35cea，焦点坐标1(3,0)F，2(3,0)F，顶点1(5,0)A，2(5,0)A，1(0,4)B，2(0,4)B．（图略）例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点(3,0)P、(0,2)Q；（2）长轴长等于20，离心率等于35．解：（1）由题意，3a，2b，又∵长轴在x轴上，所以，椭圆的标准方程为22194xy．（2）由已知220a，35cea，∴10a，6c，∴22210664b，所以，椭圆的标准方程为22110064xy或22110064yx．例3．如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）2F为一个焦点的椭圆。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，并且2F、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程（精确到1km）．解：如图，建立直角坐标系，使点2,,ABF在x轴上，2F为椭圆右焦点（记1F为左焦点），设椭圆标准方程为22221xyab（1ab），则22||||||63714396810acOAOFFA，22||||||637123848755acOBOFFB，解得：7782.5a972.5c∴22()()875568107722bacacac，所以，卫星的轨道方程是2222177837722xy．五．小结：椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）．六．作业：课本第103页习题第3，4，6题补充：1．已知椭圆的一个焦点将长轴分成2:1的两个部分，且经过点(32,4)，求椭圆的标准方程。2．如图①，已知椭圆中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点1B，2B的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为105，求这个椭圆的方程．xyO1F2FAxyOA2B1BF图①
