§1．1．1正弦定理一．教学目标1.知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题2.过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作.3.情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.二．教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用.三．教学难点正弦定理的推导过程.四．教学过程Ⅰ.课题导入如图(图1．1-1)，现要在河岸两侧A，B两点间建一座桥，需要知道A，B间的距离．由于环境因素不能直接测量A，B间的距离．你有办法间接测量A，B两点间的距离吗？1(图1．1-1)Ⅱ.讲授新课[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系.如图1．1-2，在中，设,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又则从而在中，.思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否(图1.1-2)仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当是锐角三角形时，设边上的高是，根据任意角三角函数的定义，有=,则，同理可得，从而2(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题.（证法二）：过点作,由向量的加法可得则∴∴，即同理，过点作，可得从而类似可推出，当是钝角三角形时，以上关系式仍然成立.（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即[理解定理](1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数使；(2)等价于，，从而知正弦定理的基本作用为：3①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如.(3)其他变式：①②一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.Ⅲ.例题分析例1．在中，已知，，，解三角形.解：根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.例2．在中，已知，，，解三角形（角度精确到，边长精确到1）.解：根据正弦定理，因为＜＜，所以，或4⑴当时，，⑵当时，，评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形.[课堂练习]1.在中，已知，则=；2.在中，已知，则=；3.在中，，则（）A.B.C.D.Ⅳ.课堂小结（1）定理的表示形式：.（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求其他边和角.Ⅴ.课后作业第10页[习题1.1]A组第1、2题.板书设计5一．引入正弦定理在直角三角形中推导正弦定理三．例题分析例1，例2二．新课四．小结锐角和钝角三角形中五．作业6
