第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程学习目标重点难点1.记住常用动点的轨迹.2.学会求动点轨迹方程的常用技巧和方法.3.会分析曲线的方程与方程的曲线的关系.重点:求动点轨迹方程的常用技巧与方法.难点:曲线与方程的概念.1.曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.预习交流1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是正确的,下列命题中正确的是().A.方程f(x,y)=0的曲线是CB.方程f(x,y)=0的曲线不一定是CC.f(x,y)=0是曲线C的方程D.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上提示:不论方程f(x,y)=0是曲线C的方程,还是曲线C是方程f(x,y)=0的曲线,都必须同时满足两层含义:曲线上的点的坐标都是方程的解,以方程的解为坐标的点都在曲线上,所以A,C,D错误.举例如下:曲线C:第一、三象限的角平分线,方程为|x|=|y|,显然满足已知条件,但A,C,D错.2.坐标法与解析几何的研究对象借助坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质,这就叫坐标法.由坐标法研究几何图形的知识所形成的学科叫做解析几何,解析几何研究的主要问题是:(1)根据已知条件,求出表示曲线的方程;(2)通过曲线的方程,研究曲线的性质.预习交流2由曲线的方程讨论曲线的性质,一般包括哪几个方面?提示:综合考虑曲线的性质,如曲线的范围、对称性、与坐标轴的交点、曲线的类型等.3.求曲线的方程的步骤(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)};(3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.一般地,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以适当说明.另外也可以省略(2),直接列出曲线方程.预习交流3如果所研究的问题中没有确定的坐标系,就需要选取适当的坐标系,常见的选取坐标系的方法有哪些?提示:建立坐标系要适当,应遵从垂直性和对称性原则,常见的建系方法有:①以已知定点为原点;②以已知定直线为坐标轴(x轴或y轴);③以已知线段所在的直线为坐标轴(x轴或y轴),以已知线段的中点为原点;④以已知互相垂直的两条定直线为坐标轴;⑤让尽量多的已知点在坐标轴上.一、曲线的方程与方程的曲线的概念分析下列曲线上的点与相应方程的关系:(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|=2之间的关系;(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy=5之间的关系;(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x+y=0之间的关系.思路分析:按照曲线的方程与方程的曲线的定义进行分析.解:(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|=2的解,但以方程|x|=2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|=2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy=5,但以方程xy=5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy=5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x+y=0,反之,以方程x+y=0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上,因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x+y=0.判断下列命题的真假:(1)以坐标原点为圆心,半径为2的圆的方程是y=24x;(2)方程(x+y-1)·224xy=0表示的曲线是圆或直线;(3)点A(-4,3),B(-32,-4),C(5,25)都在方程x2+y2=25(x≤0)所表示的曲线上.解:(1)假命题.以坐标原点为圆心,半径为2的圆的方程应是x2+y2=4,而y=24x表示的只是圆的一部分.(2)假命题.由(x+y-1)·224xy=0得2210,40xyxy或x2+y2-4=0,∴表示的是圆或两条射线.(3)假命题.把点A(-4,3)的坐标代入方程x2+y2=25,满足方程,且A点的横坐标满足x≤0,则点A在方程x2+y2=25(x≤0)所表示的曲线上.把点B(-32,-4)的坐标代入x2+y2=25, (-32)2+(...
