高中数学 32 一元二次不等式及其解法 第2课时课件 新人教A版必修5 课件VIP免费

第2课时一元二次不等式解法的应用1．若ax2＋bx＋c≥0的解集是空集，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向，且与x轴交点．2．若ax2＋bx＋c>0的解集是实数集R，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向，且二次三项式的判别式Δ0.下没有上<1．下列不等式中，解集是R的是()A．x2＋2x＋1>0B.x2>0C．(13)x＋1>0D.1x－2<1x解析： x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，∴A不正确； x2＝|x|≥0，∴B不正确； (13)x>0，∴(13)x＋1>1>0(x∈R)，故C正确；1x－2<1x⇒x>0或x<0，∴D不正确，故选C.答案：C2．不等式(x2－7x＋12)(x2＋x＋1)>0的解集为()A．(∞－，－4)(∪－3∞，＋)B．(∞－，3)(4∪∞，＋)C．(－4，－3)D．(3,4)解析： x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式等价于x2－7x＋12>0，∴x<3或x>4.故选B.答案：B3．若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解为一切实数，则a的取值范围为()A．(－2,2]B．[－2,2]C．(∞－，－2)[2∪∞，＋)D．(∞－，－2)(2∪∞，＋)解析：由题设条件知：①a－2<0，Δ＝[2a－2]2－4a－2×－4<0.∴a<2，－20的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，a>0Δ<0.(2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时，a<0Δ<0.类似地，还有f(x)≤a恒成立⇔[f(x)]max≤a；f(x)≥a恒成立⇔[f(x)]min≥a.迁移变式1若x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，则a的取值范围是________．解：原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0，当a＋2＝0，即a＝－2时，4x－3≥0不恒成立，当a＋2≠0，即a≠－2时，a＋2>0Δ＝16－4a＋2a－1≤0，解得a≥2.∴a的取值范围是[2，＋∞)．[例2]解不等式2x＋1x－3>2x＋13x－2.[解]移项得2x＋1x－3－2x＋13x－2>0，通分整理得2x＋12x－33x－2>0，∴2x＋1≠0，x－33x－2>0⇒x≠－12，x>3或x<23，∴原不等式的解集为(－∞，－12)∪(－12，23)∪(3，＋∞)．迁移变式2(1)不等式x＋5x－12≥2的解集是()A．[－3，12]B．[－12，3]C．[12，1)∪(1,3]D．[－12，1)∪(1,3](2)不等式2x2＋2x－4≤12的解集为________．解：(1)首先x≠1，在此条件下(x－1)2>0，根据不等式性质，原不等式可化为x＋5≥2(x－1)2，即2x2－5x－3≤0，解得－12≤x≤3，又x≠1.所以原不等式的解集为[－12，1)∪(1,3]．故选D.(2)由已知得2x2＋2x－4≤2－1，所以x2＋2x－4≤－1，即x2＋2x－3≤0，由此得原不等式的解集为[－3,1]．[例3]若方程kx2－(2k＋1)x－3＝0在(－1,1)和(1,3)内各有一个实根，则实数k的取值范围如何？[分析]此为二次方程根分布问题．[解] 函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3的图象是连续曲线，由题意可知f(－1)f(1)<0且f(1)f(3)<0，即3k－2－k－4<0，－k－43k－6<0，即k>23或k<－4，k>2或k<－4，解得k<－4或k>2.故所求的实数k的取值范围是k<－4或k>2.[点评]解决这类一元二次方程两实根正负性的讨论问题，只需抓住判别式和韦达定理，由它们构建关于参数的一元二次不等式组，解之即可．迁移变式3m为何值时，关于...