高考数学一轮复习讲义 9.5 直线与圆的综合应用课件VIP免费

主页主页一轮复习讲义一轮复习讲义直线与圆的综合应用主页主页1．解析几何的基本方法是坐标法，通过数形结合实现代数与几何的融合．2．直线与圆相结合常涉及代数中解方程、不等式，求函数最值等．在解直线与圆的问题时，要善于灵活运用图形性质、方程观点综合考察．3．注意运用代数式的几何意义，如出现f(x)－mx－n的形式可以想到斜率；出现(m－x0)2＋(n－y0)2想到可转化为距离；而mx＋ny，(x－x0)2＋(y－y0)2的结构，可通过整体代换：mx＋ny＝t，(x－x0)2＋(y－y0)2＝R2可转化为直线、圆的相关问题．忆一忆知识要点要点梳理主页主页[难点正本疑点清源]1．直线与圆的最值问题解题思路(1)代数法：利用平面几何中的有关公式，构造函数，根据函数最值的求法进行求解．在转化过程中常用到向量的数量积、二次方程根与系数的关系、换元等知识和方法．(2)几何法：找到所求式的几何意义，在坐标系中与圆建立联系，分析其与圆的位置变化情况，找到最大、最小取值点．2．特征三角形掌握圆心距和两圆半径的关系以及圆的平面几何性质对于解决圆的问题起到很重要的作用．涉及与圆的弦有关的问题时，为简化运算，常利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形进行解题．主页主页例1已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)yx的最大值和最小值；(2)y＋x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题解方法一(1)令yx＝t，则x2＋t2x2－4x＋1＝0，即(1＋t2)x2－4x＋1＝0.由Δ≥0，得－3≤t≤3.∴yx的最小值为－3，最大值为3.主页主页(2)令y＋x＝m，则y＝－x＋m，x2＋(－x＋m)2－4x＋1＝0，即2x2－(2m＋4)x＋m2＋1＝0.由Δ≥0，得2－6≤m≤2＋6.方法二(1)yx即为圆(x－2)2＋y2＝3上的点与原点连线的斜率，由于OC＝2，CT1＝CT2＝3(T1，T2为过O引圆的两切线的切点)，所以∠T1OC＝∠T2OC＝60°，∴＝－3，＝3.∴yx∈[－3，3]，yx的最小值为－3，最大值为3.1OTk2OTk主页主页(2)令y＋x＝m，y＝－x＋m，直线y＝－x＋m与圆x2＋y2－4x＋1＝0有公共点时，其纵截距在两相切位置对应的纵截距之间，而相切时有|2＋0－m|2＝3，|m－2|＝6，m＝2±6.∴y＋x的最大值为2＋6，最小值为2－6.(3)x2＋y2表示圆x2＋y2－4x＋1＝0上的点到原点的距离，故其最大值为2＋3，最小值为2－3.∴x2＋y2的最大值为7＋43，最小值为7－43.主页主页变元转换，构造方程与数形结合(明确代数式的几何意义)是处理二元条件最值问题的常用方法．我们还可以运用参数方法x＝2＋3cosαy＝3sinα(α为参数)来处理．探究提高主页主页已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求y＋2x＋1的最大值和最小值；(2)求x－2y的最大值和最小值；(3)求P(x，y)点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值．变式训练1解(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y＋2x＋1的几何意义是圆上一点与(－1，－2)连线的斜率，设y＋2x＋1＝k，即y＋2＝k(x＋1)．主页主页当此直线与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时|2k＋k－2|k2＋1＝3，解得k＝6＋306或k＝6－306.∴y＋2x＋1的最大值为6＋306，最小值为6－306.(2)x－2y可看作是直线x－2y＝b在x轴上的截距，当直线与圆相切时，b取得最大值或最小值．此时：|2－b|5＝3，∴b＝2＋15或b＝2－15.∴x－2y的最大值为2＋15，最小值为2－15.(3) 圆心(2,0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝|6＋12|5＝185，∴P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为185＋3，最小值为185－3.主页主页例2直线l：x－ky＋22＝0与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，O为坐标原点，△ABC的面积为S.求S的最大值，并求此时直线l的方程．与圆有关的弦长问题与圆有关的弦长问题解方法一 直线l与圆C交于两点，∴221＋k2<2.解得k<－1或k>1. AB＝24－81＋k2＝4k2－1k2＋1，∴S(k)＝12·4k2－1k2＋1·221＋k2＝42·k2－1k2＋1＝42k2－1＋2k2－1≤4222＝2，主页主页当且仅当k2－1＝2k2－1，即k＝±3时，S取得最大值2，此时直线l的方程为x－3y＋22＝0或x＋3y＋22＝0.方法二设O到直线AB的距离为m，则AB＝24－m2，∴S＝12AB·m＝4－m2·m＝(4－m2)·m2≤4－m2＋m22＝2，当且仅当4...