第6课时双曲线1．双曲线的定义我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的_________等于常数(小于_______)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的_______，两焦点间的距离叫做双曲线的_______．绝对值|F1F2|焦点焦距【思考探究】1.当定义中的常数等于|F1F2|或大于|F1F2|，动点的轨迹分别是什么图形？提示：结合图形知，当常数等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当常数大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围______________________________对称性对称轴：_______对称中心：______对称轴：_______对称中心：_____顶点顶点坐标：A1____________，A2_________顶点坐标：A1______________，A2_________x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a坐标轴原点坐标轴原点(－a,0)(a,0)(0，－a)(0，a)性质渐近线________________离心率e＝___，e∈_______，其中c＝_____实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝____；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝____；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长.2a2by＝±baxy＝±abxca(1，＋∞)a2＋b2【思考探究】2.双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大．1．双曲线x210－y22＝1的焦距为()A．32B．42C．33D．43解析：由已知有c2＝a2＋b2＝12，所以c＝23，故双曲线的焦距为43.答案：D2．已知双曲线的方程为2x2－3y2＝6，则此双曲线的离心率为()A.32B.52C.153D.253解析：方程为x23－y22＝1，∴a＝3，c＝5，∴e＝153.答案：C3．已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是()A.x216－y29＝1B.x216－y29＝1(x≥4)C.x29－y216＝1D.x29－y216＝1(x≥3)解析：由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A，C.又c＝5，a＝3，∴b＝c2－a2＝4，焦点在x轴上，∴轨迹方程为x29－y216＝1(x≥3)．答案：D4．若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线方程为x3＋y＝0，则此双曲线的离心率为________．解析：渐近线方程为x3＋y＝0，∴ba＝13.又a2＋b2＝c2，从而ca＝103，即e＝103.答案：1035．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则其标准方程为________．解析：由ca＝2，c＝4，∴a＝2，b＝23，∴方程为x24－y212＝1.答案：x24－y212＝1双曲线的定义1．利用双曲线的定义求轨迹方程，首先要充分利用几何条件探求轨迹的曲线类型是否符合双曲线的定义．2．常用定义解焦点三角形问题．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．解析：设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2， |MC1|－|MC2|＝22.又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∴22＜|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支． a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴点M的轨迹方程是x22－y214＝1(x≥2)．【变式训练】1.(2010·全国卷Ⅰ)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6D．8解析：如图，设|PF1|＝m，|PF2|＝n.则|m－n|＝2，222＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2.∴m2－2mn＋n2＝4，m2－mn＋n2＝8.∴mn＝4.∴|PF1|·|PF2|＝4.答案：B求双曲线的标准方程1．用待定系数法求双曲线的标准方程时，一定要抓住题设所给的独立条件，建立a、b、c之间的等量关系，运用方程的思想来求解．2．当分不清双曲线的类型时，可统设方程为mx2＋ny2＝1(m·n<0)的形式，当m>0，n<0时焦点在x轴上；当m<0，n>0时焦点在y轴上．3．若双曲线的渐近线方程是y＝±bax，则双曲线方程可表示为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦距为26，且经过点M(0,12)；(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．解析：(1) 双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13.∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线标准方程为y2144－x225＝1.(2)设与双曲线x22－y2＝1有公共渐近...
