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高三数学(师说)系列一轮复习 圆的方程课件 理 新人教B版 课件VIP免费

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圆的方程圆的方程考点串串讲1.圆的标准方程平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点就是圆心,定长就是半径,如图所示,设圆心是C(a,b),半径是r,则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.注意事项(1)上面方程就称为圆的标准方程.(2)如果圆心在原点,这时a=b=0,圆的方程为x2+y2=r2.(3)圆心C(a,b)是定位条件,半径是定形条件.(4)确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出关于a,b,r的方程组,需要三个独立条件.2.圆的一般方程把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开,得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,可见,任何一个圆的方程可写成x2+y2+Dx+Ey+F=0①将①配方化为(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2-4F4(1)当D2+E2-4F>0时,①表示以(-D2,-E2)为圆心,12D2+E2-4F为半径的圆;(2)当D2+E2-4F=0时,①表示一个点(-D2,-E2);(3)当D2+E2-4F<0时,①不表示任何图形.从上可看出,当D2+E2-4F>0时,方程①表示一个圆,方程①叫做圆的一般方程.圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了方程形式上的特点:(ⅰ)x2和y2的系数相等,不等于0;(ⅱ)没有交叉项xy.以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件,而不是充分条件,还需要加上(DA)2+(EA)2-4FA>0,即D2+E2-4AF>0.(4)常见圆的方程①圆心在原点的圆,标准方程:x2+y2=r2;一般方程:x2+y2-r2=0.②过原点的圆,标准方程:(x-a)2+(y-b)2=a2+b2;一般方程:x2+y2+Dx+Ey=0.③圆心在x轴上的圆,标准方程:(x-a)2+y2=r2;一般方程:x2+y2+Dx+F=0.④圆心在y轴上的圆,标准方程:x2+(y-b)2=r2;一般方程:x2+y2+Ey+F=0.⑤与x轴相切的圆,标准方程:(x-a)2+(y-b)2=b2;一般方程:x2+y2+Dx+Ey+14D2=0.⑥与y轴相切的圆,标准方程:(x-a)2+(y-b)2=a2;一般方程:x2+y2+Dx+Ey+14E2=0.3.点和圆的位置关系设点P(x0,y0),圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点和圆的位置主要是利用点到圆心的距离与圆的半径的大小来判断,如图所示.(1)|PC|=x0-a2+y0-b2<r,即(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点在圆内;(2)|PC|=x0-a2+y0-b2=r,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点在圆上;(3)|PC|=x0-a2+y0-b2>r,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点在圆外.如果把圆的方程换成一般式x2+y2+Dx+Ey+F=0则表述为如下形式:x20+y20+Dx0+Ey0+F<0⇔点在圆内;x20+y20+Dx0+Ey0+F=0⇔点在圆上;x20+y20+Dx0+Ey0+F>0⇔点在圆外.4.直线和圆的位置关系(1)判断直线和圆的位置关系有两种方法,一种侧重代数方法,一种侧重从几何角度入手.方法一:设直线方程为Ax+By+C=0,圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,联立直线和圆的方程消y得关于x的一元二次方程为ax2+by+c=0,其判别式为Δ,则:Δ>0⇔相交;Δ=0⇔相切;Δ<0⇔相离.方法二:(几何法)如图所示,直线方程为Ax+By+C=0,圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.圆心O到直线l的距离d=|Aa+Bb+C|A2+B2,则:d<r⇔相交;d=r⇔相切;d>r⇔相离.其实圆与直线的位置关系更多采用几何法,当直线与圆相交时弦长的算法也更多地采用几何法,即弦长=2r2-弦心距2.(2)圆的切线方程①若圆的方程为x2+y2=r2,点P(x0,y0)在圆上,则过P点且与圆x2+y2=r2相切的切线方程为x0x+y0y=r2.注:点P必须在圆x2+y2=r2上.②若圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,点P(x0,y0)在圆上,则过P点且与该圆相切的切线方程为x0x+y0y+D·x+x02+E·y+y02+F=0.③若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外,过P点且与圆相切的直线有两条,具体求法为:设切线方程为y-y0=k(x-x0)(斜率存在时),利用圆心到切线的距离d等于半径r,列出方程,求出k.当斜率不存在时,结合图形求出.④若已知切线斜率k,求圆的切线方程,则设斜截式y=kx+b,利用上述③中方法导出方程求出b.5.圆和圆的位置关系设两圆的半径分别为R、r(R>r),圆心距为d,两圆的方程组成的方程组为M.这时,两圆的位置关系如下表:位置关系几何特征代数特征外离d>R+rM无实...

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