•第三节抛物线考纲点击掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.热点提示1.以客观题的形式考查抛物线的定义、标准方程及几何性质.2.以解答题的形式考查直线与抛物线的位置关系等综合性问题.•1．抛物线的定义•平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)_________的点的轨迹叫做抛物线，____叫做抛物线的焦点，____l叫做抛物线的准线．距离相等点F直线当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？【提示】当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线.•3.焦点弦：AB为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．•(1)x1x2＝______；•(2)y1y2＝_____；p24－p2(3)弦长l＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2x1x2＝p，当且仅当x1＝x2时，通径最短为____.(4)弦长l＝2psin2α(α为AB的倾斜角)．2p1．抛物线y＝－2x2的准线方程是()A．x＝12B．x＝18C．y＝12D．y＝18【解析】抛物线方程为x2＝－12y，∴p＝14，准线方程为y＝18.【答案】D•2．若aR∈，则“a＞3”是“方程y2＝(a2－9)x表示开口向右的抛物线”的()•A．充分不必要条件•B．必要不充分条件•C．充要条件•D．既不充分也不必要条件•【解析】由抛物线y2＝(a2－9)x开口向右可得a2－9＞0，即得a＞3或a＜－3，•∴“a＞3”是“方程y2＝(a2－9)x表示开口向右的抛物线”的充分不必要条件，故应选A.•【答案】A3．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则M的纵坐标是()A．0B.78C.1516D.22564【解析】抛物线方程为x2＝14y，∴p＝18.∴yM＋116＝1，∴yM＝1－116＝1516.【答案】C•4．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．【解析】抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为Fp2，0，又线段OA的中点为1，12，且kOA＝12.那么线段OA的垂直平分线为：y－12＝－2(x－1)，将Fp2，0代入，得0－12＝－2p2－1，∴p＝52.故抛物线方程为y2＝5x，故准线方程为：x＝－54.【答案】x＝－54•5．设抛物线y2＝8x，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过AB中点M作x轴平行线交y轴于N，若|MN|＝2，则|AB|＝________.•【解析】由抛物线y2＝8x，得p＝4，•设其准线为l，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，•则|AA1|＋|BB1|＝2(|MN|＋2)＝8.•又|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，•∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝8.•【答案】8抛物线的定义及应用已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)．(1)求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标；(2)求点P到点B－12，1的距离与点P到直线x＝－12的距离之和的最小值．•【思路点拨】(1)由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题．•(2)把点P到直线的距离转化为到焦点的距离即可解决．【自主解答】(1)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6. 6＞2，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P坐标为(2,2)．(2)由于直线x＝－12即为抛物线的准线，故|PB|＋d＝|PB|＋|PF|≥|BF|，当且仅当B、P、F共线时取等号．而|BF|＝12＋122＋12＝2.∴|PB|＋d的最小值为2.•1.抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化．2．焦半径|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2，它们在解题中有重要作用，注意灵活运用．•[教师选讲]求顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P(m，－3)到焦点的距离为5的抛物线方程．【解析】因焦点在y轴上，且抛物线经过点P(m，－3)，所以抛物线的焦点在y轴的负半轴上，可设抛物线的方程为：x2＝－2py(p＞0)，由定义知，点P到准线y＝p2的距离也是5，∴有p2－(－3)＝5，从而得p＝4，故所求抛物线...
