高考数学一轮总复习 7.48 二项式定理及应用课件 理 课件VIP专享VIP免费

第48讲二项式定理及应用【学习目标】1．能用计数原理证明二项式定理；熟练掌握二项展开式的通项公式．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【基础检测】1．若实数a＝2－2，则a10－2C101a9＋22C102a8－…＋210＝()A．32B．－32C．1024D．512【解析】由题意得a10－2C101a9＋22C102a8－…＋210＝(a－2)10，又a＝2－2，所以原式＝(2－2－2)10＝32.A2．二项式3x－2xn的展开式中的第9项是常数项，则n的值是()A．4B．8C．11D．12【解析】二项式3x－2xn的展开式的通项是Tr＋1＝Cnr·(3x)n－r·－2xr＝Cnr·3n－r·(－2)r·rn23x，依题意得n－32×8＝0，所以n＝12.D3．设5x－1xn的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中第4项的二项式系数为____．4【解析】由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，所以展开式中第4项的二项式系数为C43＝4.4．设a∈Z，且0≤a<13，若512015＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12D【解析】由于51＝52－1，(52－1)2015＝C20150522015－C20151522014＋…－C20152014521＋1，又由于13|52，所以只需13|1＋a，0≤a<13，所以a＝12.【知识要点】1．二项式定理(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnran－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的；其中的系数叫系数，与展开式中项的系数相同．2．(a＋b)n展开式中的Cnran－rbr叫二项展开式的____，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝Cnran－rbr.展开式Cnr(r∈{0，1，…，n}二项式不一定通项3．二项展开式的特点(1)项数为____项．(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为____．(3)字母a按____排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按____排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.n＋1n降幂升幂4．二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端的两个二项式系数相等，即．增减性当时，二项式系数Cnk逐渐增大；当时，二项式系数Cnk逐渐减小．等距离Cnm＝Cnn－mkn＋12，k∈N*性质内容最大值当n是偶数时，中间一项2nnC取得最大值；当n是奇数时，中间两项21nnC，21nnC取得最大值．各二项式系数和Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnr＋…＋Cnn＝____；Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＋Cnn＝____(n为偶数)；Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＋Cnn＝____(n为奇数).2n2n－12n－1一、二项式的通项公式及应用例1若x＋124xn展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次幂的项；(2)展开式中系数最大的项；(3)展开式中的有理项．【解析】(1)由条件Cn0＋Cn2·122＝2Cn1·12，得n＝8.Tr＋1＝C8r(x)8－r·124xr＝C8r·2－r·r-443x，令4－34r＝1，得r＝4，∴x的一次项为T4＋1＝C84·2－4x＝358x.(2)记第r项的系数为tr，第k项系数最大，则有tk≥tk＋1，且tk≥tk－1，于是C8k－1·2－k＋1≥C8k·2－k，C8k－1·2－k＋1≥C8k－2·2－k＋2⇒3≤k≤4，∴系数最大项为第3项T2＋1＝725x和第4项T3＋1＝747x.(3)Tr＋1＝C8r·2－r·43r-4x，若Tr＋1为有理项，则4－3r4∈Z，且0≤r≤8，∴r＝0或r＝4或r＝8.当r＝0时，4－34r＝4，T1＝x4；当r＝4时，4－34r＝1，T5＝C842－4x＝358x；当r＝8时，4－34r＝－2，T9＝C882－8x－2＝1256x2.∴展开式的有理项为：x4，358x，1256x2.【点评】求展开式中某特定(如有理项、常数项)或某指定项(如第r＋1项，含xr的项)以及指定项的系数、二项式系数等问题是高考的一大热点．二、二项式展开式的系数和问题例2设(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，求：(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|；(3)a1＋a3＋a5；(4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2.【解析】设f(x)＝(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝(－3)5＝－243.(1)因为a5＝25＝32，所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝f(1)－32＝－31.(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝－f(－1)＝243.(3)因为f(1)－f(－1)＝2(a1＋a3＋a5)，所以a1＋a3＋a5＝244...