第7课时抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离_______的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的_______，直线l叫做抛物线的_______．相等焦点准线【思考探究】当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线．2．抛物线的标准方程及其简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)对称轴____________________焦点_____________________________离心率e＝1e＝1e＝1e＝1准线_________________________x轴x轴y轴y轴Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p21．坐标平面内到定点F(－1,0)的距离和到定直线l：x＝1的距离相等的点的轨迹方程是()A．y2＝2xB．y2＝－2xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：由抛物线的定义知，点的轨迹是开口向左的抛物线，且p＝2，∴其方程为y2＝－2px＝－4x.答案：D2．已知抛物线y＝34x2，则它的焦点坐标是()A.0，316B.316，0C.13，0D.0，13解析：抛物线的标准方程为x2＝43y.∴2p＝43，∴p＝23.∴抛物线y＝34x2的焦点坐标是0，13.答案：D3．准线方程为y＝－2的抛物线的标准方程是()A．y＝8x2B．x2＝8yC．y2＝8xD．y2＝－8x解析： 抛物线的准线方程为y＝－2，∴抛物线开口向上，且－p2＝－2，∴p＝4，∴其标准方程为x2＝8y.答案：B4．顶点在原点，对称轴是x轴，且经过点M(5，－4)的抛物线的标准方程是________．解析：由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，∴16＝10p，∴p＝85，∴抛物线方程为y2＝165x.答案：y2＝165x5．过抛物线y2＝4x的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A、B两点．则以F为圆心、AB为直径的圆方程是________．解析：由y2＝4x得F(1,0)，令x＝1，代入y2＝4x得：y＝±2，∴|AB|＝4，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.答案：(x－1)2＋y2＝4抛物线的定义的应用1．凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋p2.若过焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p可用韦达定理整体求出．若遇到其他标准方程，焦半径或焦点弦长可由数形结合的方法类似的得到．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．解析：将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6. 6＞2，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72.此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P坐标为(2,2)．【变式训练】1.题目条件不变，求点P到点B－12，1的距离与点P到直线x＝－12的距离之和的最小值．解析：由于直线x＝－12即为抛物线的准线，故|PB|＋d＝|PB|＋|PF|≥|BF|，当且仅当B、P、F共线时取等号．而|BF|＝12＋122＋12＝2.∴|PB|＋d的最小值为2.抛物线的标准方程1．已知抛物线的标准方程，可以确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程．2．求抛物线的标准方程常用待定系数法，即利用题目中的已知条件确定p的值．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点在直线x＋3y＋15＝0上；(2)开口向下的抛物线上一点Q(m，－3)到焦点的距离等于5.解析：(1)对于直线x＋3y＋15＝0，令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.(2)设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由已知得p2＋3＝5，∴p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y.【变式训练】2.(2010·浙江卷)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)，若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为______．解析：由已知得B点的纵坐标为1，横坐标为p4，即B...
