推理与证明推理与证明考点串串讲1.推理(1)定义在日常生活中我们常常遇到这样一些问题:看到天空乌云密布,燕子低飞,蚂蚁搬家等现象时,我们会得出一个判断——天要下雨了;张三今天没来上课,我们会推断——张三一定生病了;谚语:“八月十五云遮月,来年正月十五雪打灯”,等等,这样根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理.推理是人们思维活动的过程.(2)结构从结构上来说推理一般分为两个部分:一部分是已知的事实(或者假设),这叫做推理的前提;另一部分是由已知推出的新的判断叫做结论,推理的一般形式为:前提⇒结论.例如:推理a>b,b>c,则a>c.这里a>b,b>c叫做推理的前提;a>c是推理的结论.注:推理也可以看作是连接词将前提和结论连结起来的一个逻辑连接,常用的连接有“因为……所以……”,“如果……那么……”,“根据……可知……”等等形式.(3)分类:推理一般可分为合情推理和演绎推理.2.合情推理(1)定义:根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理.其包括归纳推理和类比推理.合情推理是指“合乎情理”的推理,数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.合情推理的过程概括为:从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想(2)归纳推理①归纳推理的特点(ⅰ)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围.(ⅱ)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.(ⅲ)归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳法得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.②归纳推理的一般步骤(ⅰ)通过观察个别情况发现某些相同性质.(ⅱ)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.(猜想)若归纳的个别情况越多,越具有代表性,则推广的一般性命题就越可靠.③归纳推理的分类(ⅰ)完全归纳推理:由某类事物的全部对象推出结论.(ⅱ)不完全归纳推理:由某类事物的部分对象推出结论.④由完全归纳推理得到的结论是正确的.由不完全归纳推理得到的结论,其正确性有待于证明.⑤归纳推理的思维过程大致如下实验、观察―→归纳、类比―→猜测一般性结论(3)类比推理①类比推理的特点(ⅰ)类比是从人们已经掌握了的事物的属性推测正在研究中的事物的属性,它以旧有认识作基础,类比出新的结果.(ⅱ)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.(ⅲ)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却具有发现的功能.②类比推理的一般步骤(ⅰ)找出两类事物之间的相似性或一致性.(ⅱ)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题.③类比推理的思维过程大致如下观察、比较―→类似或相同―→猜测新的结论3.演绎推理(1)演绎推理的四种推理规则①假言推理:用符号表示这种推理规则就是,如果p⇒q,p真,则q真,假言推理的本质是通过验证结论的充分条件为真,判断结论为真.②三段论推理:用符号表示这种推理规则就是,如果b⇒c,a⇒b,则a⇒c.③关系推理:用符号表示,如:“如果a≥b,b≥c,则a≥c”.④完全归纳推理:把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理.(2)三段论推理的集合解释若集合M中的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P(如图所示)由此可见,应用三段论解决问题,首先应该明确什么是大前提和小前提.注意在运用三段论推理时,对于复杂的论证,总是采用一连串的三段论,把前一个三段论作为下一个三段论的前提.(3)演绎推理的特点①演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.②在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具.③演绎推理是一种收敛性的思维方法.它较少...