空间几何体复习知识构建名师导学本章要解决的主要问题:掌握空间几何体的结构特征,会画几何体的三视图与直观图,利用条件求出几何体的表面积与体积.解决上述问题的关键:(1)熟悉各种空间几何体的概念与结构特征,能借助其各种截面进一步理解空间几何体的空间结构.(2)理解三视图中“长对正,高平齐,宽相等”的原则,严格按规定绘制,要注意空间图形中的角与线段和直观图中角与线段的关系.(3)熟练掌握利用展开图求表面积、利用三视图表现几何体,这种空间与平面的互化方法.经典题精讲图形的画法【例1】如图所示是一个几何体的三视图,画出它的直观图.思路点拨:简单几何体的三视图与直观图的互化问题应注意:一要确定正视、俯视、侧视的方向与直观图的对应性.解:这个几何体是横放的三棱柱,直观图如图所示(画法略).简单几何体的三视图与直观图的互化问题应注意:一要确定正视、俯视、侧视的方向与直观图的对应性,同一物体放置位置的不同,其三视图可能会有不同;二是三视图和直观图中看不见的轮廓线皆画成虚线教师备用】画出下列空间几何体的三视图.解:图(1)的三视图如图①.图(2)的三视图如图②.①②画三视图的标准是“长对正,高平齐,宽相等”另外要特别注意轮廓线的画法.求几何体体积的方法【例2】已知三棱柱ABCA′B′C′的体积为V,P、Q分别在侧棱AA′、CC′上,且AP=C′Q,则四棱锥BACQP的体积是()(A)12V(B)13V(C)25V(D)14V解析:如图,VBA′B′C′=13V,VBACQP=VBA′C′QP,VBACQP=13V.故选B.三棱锥的每一个面都可当作底面来处理,这一方法叫做体积转移法(或称等体积法);割补法是求几何体的体积时常用的一种方法.【例3】如图所示,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是多少?解:过B点作平行于底面的截面,将几何体分为两部分,下半部分是一个底面半径为r,高为b的圆柱,其体积为V1=πr2b;将上半部分再补成圆柱,这样上半部分的体积是所补成的圆柱体积的一半,上半部分体积为V2=12πr2(a-b).所以,所求几何体的体积为V=V1+V2=12πr2(a+b).本题的解答中既用了“割”——将几何体分割为两部分,也用了“补”——将不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,无论是“割”还是“补”,其实质都是转化与化归的思想,都是将不熟悉的内容转化为熟悉的内容.最值问题【例4】将一个底面直径为2、高为1的圆柱截成横截面为长方形的棱柱,如图,设这个长方形截面的一条边长为x,对角线长为2,截面的面积为A.(1)求面积A以x为自变量的函数式;(2)求出截得的棱柱体积的最大值.思路点拨:列出函数关系式后,用二次函数关系求解.解:(1)横截面如图所示,由题意得A=x·4-x2(0<x<2).(2)V=x·4-x2=-x2-22+4,由(1)知0<x<2,所以,当x=2时,Vmax=2.解应用题一般有四步:设(设出未知数)、列(写出解析式或列出方程,特别地要注明函数定义域)、解(化简、求解未知量)、答(写出答案,注意单位).易错题辨析【例5】若一个正三棱柱(底面是等边三角形)的三视图如图所示,则这个三棱柱的表面积为()(A)183(B)153(C)24+83(D)24+163错解:由正三棱柱的三视图知,正三棱柱的底面边长为23,高为2,三棱柱的表面积S=S侧+S底=3×43+2×12×23×3=183.故选A.错解分析:错解的原因是把底面等边三角形的高当成边长,底面等边三角形的高为23,边长为4.正解:由正三棱柱的三视图知,等边三角形ABC底边AC上的高BD=23(如图),则正三棱柱的底面边长为4,高为2,三棱柱的表面积S=S侧+S底=3×8+2×12×4×23=24+83.故选C.【例6】把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面,求这个圆柱的体积.错解:设卷成的圆柱的底面半径为r,母线长为l,则2πr=6,l=3,所以r=3π,所以V圆柱=πr2·l=π·(3π)2·3=27π.错解分析:错解的原因是只把宽当成母线,沿着矩形的长卷成圆柱,没有考虑到也可以沿着矩形的宽卷成圆柱.正解:设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则(1)当2πr=6时,r=3π,l=3,所以V圆柱=πr2·l=π·(3π)2·3=27π.(2)当2πr=3时,r=32π,l=6,所以V圆柱=πr2·l=π·(32π)2·6=272π.所以所得圆柱的体积为27π或272π.