3.3幂函数知识整合1．一般地，形如________(α∈R)的函数称为幂函数，其中________是自变量，________是常数．特别警示：幂函数必须是形如y＝xα(α∈R)的函数，幂函数的系数为1，底数为单一的自变量x，指数为常数．例如：y＝3x4，y＝x2＋1，y＝(x－2)2等都不是幂函数．2．幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在________上都有定义，并且图象都通过点________；(2)如果α>0，则幂函数的图象通过________，并且在区间[0，＋∞)上是________；(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是________．在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近________轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近________轴．(4)如果幂函数图象过第三象限，则一定过点________．答案：1.y＝xαxα2．(0，＋∞)(1,1)原点增函数减函数y轴x轴(－1，－1)名师解答当n取不同的有理数时，幂函数y＝xn的图象及性质．我们只研究n是有理数的情况，规定n＝pq是既约分数．(1)如下表所示：y＝xn奇函数(p奇q奇)n>1y＝xn奇函数(p奇q奇)01，且p，q互质)时，①若q为偶数，则定义域为[0，＋∞)；②若q为奇数，则定义域为R；当n＝－pq(p，q∈N＋，q>1，且p，q互质)时，①若q为偶数，则定义域为(0，＋∞)；②若q为奇数，则定义域为{x|x≠0}．(3)①在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)．②当n>0时，图象都通过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是上升的，向上无限伸展，是增函数；当n＝0时，图象是除去点(0,1)的直线y＝1；当n<0时，图象都不过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是下降的，向右与x轴无限靠近，是减函数．③在直线x＝1的右侧，指数n越大图象越在上边．深入学习题型一各种函数概念的区别【例1】已知函数，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．分析：利用函数的定义解题．(2)若f(x)为反比例函数，则m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0，⇒m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则m2＋m－1＝2，m2＋2m≠0，⇒m＝－1±132.(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±2.评析：对于第(4)小题，要防止下面的错误：“m2＋2m＝1，得m＝－1±2，因为当m＝－1±2时，m2＋m－1不是有理数．所以f(x)不可能为幂函数”，尽管中学阶段研究的幂函数为有理指数幂，但定义中的幂指数为任意实数；所以，它是幂函数．变式训练1(1)如果幂函数y＝(m2－3m＋3)的图象不过原点，则m的取值是()A．－1≤m≤2B．m＝1或m＝2C．m＝－1或m＝2D．m＝1(2)幂函数f(x)＝(m2－m－1)在区间(0，＋∞)上是增函数，那么实数m的取值集合为________．答案：(1)B(2){－1}分析：(1)利用幂函数的定义求解．(2)根据幂函数的定义判断．解：(1)由题意知m2－3m＋3＝1，m2－m－2≤0，解得m＝1或m＝2.故应选B.(2)根据幂函数的定义，m2－m－1＝1.①根据幂函数的性质，若幂函数在区间(0，＋∞)上是增函数，则m2－2m－1>0.②由①②，得m＝－1.∴m的集合为{－1}．题型二幂函数的定义域和值域【例2】求下列函数的定义域和值域．分析：把分数指数幂化为根式，并使根式有意义．解：(1)y＝x6的定义域是R，值域是[0，＋∞)；评析：幂函数的定义域由解析式是否有意义来确定，实质上与指数有关，而定义域确定值域．变式训练2函数f(x)＝(m∈N)的定义域是________，奇偶性为________，单调区间为________．解： m2＋m＝m(m＋1)(m∈N)是非负偶数，∴m2＋m＋1＝m(m＋1)＋1是正奇数．∴定义域为R.∴f(x)为奇函数．又由，知f(x)是正的奇次根式．答案：R，奇，(－∞，＋∞)．题型三利用幂函数的性质比较大小【例3】比较下列各组数的大小：评析：比较大小的类型题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式训练3用不等号填空：(1)－5a<－4a，则a________0；(2)若0.39b<0.38b，则b________0.解析：(1)由－5a<－4a得，5a>4a，∴y＝xa为增函数，∴a>0；(2...
