一、复习abcsinAsinBsinC1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。即:BCAabc2.可以用正弦定理解决的三角问题:题型一:知两角及一边,求其它的边和角题型二:知两边及其中一边对角,求其他边和角证明:如图,⊙O为△ABC的外接圆,正弦定理的推论:ABCD.ObacsinsinsinabcABC=2R(R为△ABC外接圆半径)2sinsinsin90aaBDRAD22,;sinsinbcRRBC同理,∴sinsinsinabcABC=2R(R为△ABC外接圆半径)二、新课讲解则∠A=∠D连接BO并延长BO交圆于点D连接CD,等腰三角形或直角三角形正弦定理的推论:sinsinsinabcABC=22RR(R为△ABC外接圆半径)222sin,sin,sinaRAbRBcRC222sin,sin,sinabcABCRRRsin:sin:sin::ABCabc二、新课讲解>45º或135º三、例题讲解例1在△ABC中,A=32.0º,B=81.5º,a=42.9,解此三角形.(精确到0.1cm)解:根据三角形的内角和定理:C=180º-(A+B)=66.2º由正弦定理可得429818801320ooasinB.sin.b.(cm)sinAsin.由正弦定理可得429662741320ooasinC.sin.c.(cm)sinAsin.应用正弦定理解三角形题型一:已知两角和任意一边,求出其他两边和一角三、例题讲解解:由正弦定理可得28400899920obsinAsinsinB.a0180ooB64,oB当时C=180º-(A+B)≈76º(1)20763040ooasinCsinc(cm)sinAsinC=180º-(A+B)≈24º20241340ooasinCsinc(cm)sinAsin(2)当B≈116º时,题型二:已知两边和其中一边的对角,求出三角形的另一边和另外两个角.例2.在△ABC中,a=20cm,b=28cm,A=40º,解此三角形.64oB116oB或例3.在△ABC中,A=45º,,解此三角形.64a,b三、例题讲解解:由正弦定理可得018028152ooooBB,B或445047146obsinAsinsinB.a28oB由b<a,A=45o,可知B<A∴C=180º-(A+B)≈107º61078145ooasinCsinc.sinAsin题型二:已知两边和其中一边的对角,求出三角形的另一边和另外两个角.例2.在△ABC中,a=20cm,b=28cm,A=40º,解此三角形.若已知a、b、A的值,则解该三角形的步骤如下:(1)先利用求出sinB,从而求出角B;(2)利用A、B求出角C=180o-(A+B);(3)再利用求出边c.sinsinabABsinsinacAC三、例题讲解题型二:已知两边和其中一边的对角,求出三角形的另一边和另外两个角.注意:求角B时应注意检验!例3在△ABC中,A=45º,,这样的三角形有__个64a,b三、例题讲解1.画∠PAQ=45º2.在AP上取AC=b=43.以C为圆心,a=6为半径画弧,弧与AQ的交点为B45°APQCbBa变式:(1)在△ABC中,A=45º,,这样的三角形有___34a,b(2)在△ABC中,A=45º,,这样的三角形有___224a,b(3)在△ABC中,A=45º,,这样的三角形有___24a,b(4)在△ABC中,A=135º,,这样的三角形有___64a,b(5)在△ABC中,A=135º,,这样的三角形有___34a,b2个1个0个1个0个1已知两边和其中一边的对角时,解斜三角形的各种情况a≥b一解bsinA
a无解(一)当A为锐角(二)当A为钝角a>b一解a≤b无解三、例题讲解(三)当A为直角ACbaa>b一解ACbaa≤b无解若已知三角形的两条边及其中一边的对角(若已知a、b、A的值),则可用正弦定理求解,且解的情况如下AA的范围的范围a,ba,b关系关系解的情况解的情况AA为钝角或直角为钝角或直角AA为锐角为锐角aa>>bbaa≤≤bbaa<<bbsinsinAAaa==bbsinsinAAbbsinsinAA<<aa<<bb一解一解无解无解无解无解一解一解两解两解aa≥≥bb一解一解2.在△ABC中,由已知条件解三角形,下列有两解的是()A.b=20,A=45º,C=80ºB.a=30,c=28,B=60ºC.a=14,b=16,A=45ºD.a=12,c=15,A=120º四、练习※判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数的基本步骤(适合填空或选择题):(1)判断已知角A的类型;(钝、直、锐)(2)判断已知两边a、b的大小关系;(3)判断a与bsinA的大小关系.C1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,则下列关系一定成立的是()A.a>bsinAB.a=bsinAC.a