专题三数列、推理与证明第1讲等差数列、等比数列感悟高考明确考向(2010·辽宁)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.152B.314C.334D.172解析 {an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，∴设{an}的公比为q，则q>0，且a23＝1，即a3＝1. S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q2－q－1＝0.故q＝12或q＝－13(舍去)，∴a1＝1q2＝4.∴S5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.故选B.B考题分析本题考查了等比数列的概念、通项公式和前n项和的概念．解决本题的基本思路为基本量法，即根据条件列出关于首项a1和公比q的方程组．体现了方程的思想．易错提醒(1)易忽略条件{an}是由正数组成的等比数列．(2)在应用Sn＝a1(1－qn)1－q求和时，易忽略q＝1时的情况．主干知识梳理1．an与Sn的关系Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2．等差数列和等比数列等差数列等比数列定义an－an－1＝常数(n≥2)anan－1＝常数(n≥2)通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1(q≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法:2an＋1＝an＋an＋2(n≥1)⇔{an}为等差数列(3)通项公式法：an＝pn＋q(p、q为常数)⇔{an}为等差数列(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}为等差数列(5){an}为等比数列，an>0⇔{logaan}为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：a2n＋1＝an·an＋2(n≥1)(an≠0)⇔{an}为等比数列(3)通项公式法：an＝c·qn(c、q均是不为0常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列(4){an}为等差数列⇔{}为等比数列(0
0，递增；d<0，递减)；(3)等差数列的性质：设m、n、p、q为自然数，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.变式训练1(2010·福建)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8D．9解析设等差数列的公差为d，则由a4＋a6＝－6得2a5＝－6，∴a5＝－3.又 a1＝－11，∴－3＝－11＋4d，∴d＝2，∴Sn＝－11n＋n(n－1)2×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，故当n＝6时Sn取最小值，故选A.A题型二等比数列的有关问题例2已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，a1＋2a2＝0，S4－S2＝18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{anSn}的前n项和．思维启迪（1）设基本量公比q→列方程→求q、a1→用通项公式；（2）求{anSn}的通项→用分组法求和．解(1)设等比数列{an}的公比是q，因为a1＋2a2＝0，且a1≠0，所以q＝a2a1＝－12.因为S4－S2＝18，所以a1(1－q4)1－q－a1(1＋q)＝18，将q＝－12代入上式，解得a1＝1，所以an＝a1qn－1＝(－12)n－1(n∈N*)．(2)由于an＝(－12)n－1，Sn＝23[1－(－12)n]，∴anSn＝23[(－12)n－1＋(12)2n－1]，∴a1S1＋a2S2＋a3S3＋…＋...
