8.3简单几何体的表面积与体积第八章立体几何初步学习目标重点：了解柱体、锥体、台体和球的表面积和体积公式.难点：台体的表面积和体积计算公式.1.了解球、柱、锥、台体的表面积的计算公式.2.了解球、柱、锥、台体的体积的计算公式.知识梳理一、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积1.棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.特别提醒棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积①将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.②棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.2.棱柱、棱锥、棱台的体积1.如果棱柱的底面积是S，高是h（棱柱的高是指两底面之间的距离），那么这个棱柱的体积V棱柱＝Sh.2.如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.因此，如果棱锥的底面面积为S，高为h（棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离），那么该棱锥的体积V棱锥＝13Sh.3.由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式V棱台＝13h（S′+SS+S），其中S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高.棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.拓展:棱柱、棱锥、棱台的体积公式它们之间的关系因此，棱柱可以看作上、下底面相同的棱台，棱锥可以看作有一个底面是一个点的棱台.因此，棱柱、棱锥可以看作“特殊”的棱台，棱柱、棱锥的体积公式可以看作棱台体积公式的“特殊”形式.二.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积1.圆柱、圆锥、圆台的表面积与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和.它们的表面积公式：S圆柱＝2πr（r+l）（r是底面半径，l是母线长），S圆锥＝πr（r+l）（r是底面半径，l是母线长），S圆台＝π（r′2+r2+r′l+rl）（r′，r分别是上、下底面半径，l是母线长）.拓展：圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间的关系由于圆柱可看成上、下两底面全等的圆台，圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下，如图所示.·2.圆柱、圆锥、圆台的体积V圆柱＝πr2h（r是底面半径，h是高），V圆锥＝13πr2h（r是底面半径，h是高）.V圆台＝13πh（r′2+r′r+r2）（r′，r分别是上、下底面半径，h是高）.三.柱体、锥体、台体的体积公式V柱体＝Sh（S为底面积，h为柱体高）；V锥体＝13Sh（S为底面积，h为锥体高）；V台体＝13（S′+SS+S）h（S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高）.柱、锥、台的体积公式之间的关系：当S′＝S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式.四.球的表面积和体积1.球的表面积如果球的半径为R，那么它的表面积是S球＝4πR2.2.球的体积V球＝43πR3.R为球的半径.知识拓展：多面体的内切球与外接球问题1.多面体的内切球（球在多面体内）①若一个球与一个多面体的每一个面都相切，则称这个球是该多面体的内切球（并不是每一个多面体都有内切球）.②求解多面体的内切球问题一般采用“切割法”：对于多面体的内切球，设其球心为O，连接多面体各顶点与球心，将多面体分割为若干个棱锥.设多面体的体积为V，多面体的表面积为S，内切球的半径为r，即球心O到各个面的距离为r，则V＝13rS，于是可得r＝3VS（可作为公式使用）.2.多面体的外接球（球在多面体外）①若一个多面体的每一个顶点都在一个球的球面上，则称这个球是该多面体的外接球.②求解多面体的外接球问题的关键是找到球心的位置（球心与多面体每个顶点的连线都是球的半径）.抓住球心到某个截面的距离d，利用公式R2＝r2+d2求解（其中R为球的半径，r为截面圆的半径）.一.柱体、锥体、台体的表面积的计算常考题型例1.［2019·安徽宿州高一检测改编］如图8-3-1所示...
