高中数学 32(立体几何中的向量方法(一))课件 新人教B版选修2-1 课件VIP专享VIP免费

3.2立体几何中的向量方法（一）设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β的法向量分别为u,v,则线线平行：lmaba=kb;∥∥线面平行：lαaua·u=0;∥⊥面面平行：αβuvu=kv.∥∥线线垂直：lmaba⊥⊥·b=0;面面垂直：αβuvu⊥⊥·v=0.线面垂直：lαaua=ku;⊥∥二、讲授新课1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，设BADADAAAB，116011DAABAA化为向量问题依据向量的加法法则，11AAADABAC进行向量运算2121)(AAADABAC)(2112122AAADAAABADABAAADAB)60cos60cos60(cos21116所以6||1AC回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的倍。1AC6思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD11BBBCBABD6012011BCBABBABC，其中分析:思考：（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?A1B1C1D1ABCD分析:1111DAABAABADxAAADABaAC，，设11AAADABAC则由)(211212221AAADAAABADABAAADABAC)cos3(23222xxa即axcos631∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）A1B1C1D1ABCDH分析：面面距离回归图形点面距离向量的模.11HACHAA于点平面点作过解：.1的距离为所求相对两个面之间则HA111AAADABBADADAABA且由.上在ACH3360cos211)(22ACBCABAC1111()cos60cos601.AAACAAABBCAAABAABC�31||||cos111ACAAACAAACA36sin1ACA36sin111ACAAAHA∴所求的距离是。36A1B1C1D1ABCDH练习:如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长。OABCDE图2例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。labcd解：如图，.dABcCDbBDaAC，，，化为向量问题根据向量的加法法则DBCDACAB进行向量运算222)(DBCDACABd)(2222DBCDDBACCDACBDCDABABCD图3DBACbca2222DBCAbca2222于是，得22222dcbaDBCACADB因此.cos22222dcbaab设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。所以.2cos2222abdcba回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcba例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。labcd思考：（1）本题中如果夹角可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？ABCD图322)(DBCDACAB由)(2222DBCDDBACCDACBDCDAB分析：cos2222abbca∴可算出AB的长。（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？分析：如图，设以顶点为端点的对角线长为，三条棱长分别为各棱间夹角为。A1B1C1D1ABCDAd，，，cba21212)(CCACABCAd则cos)(2222acbcabbca...