备课资讯26概率问题常见错解剖析概率问题是近几年高考的一个热点，其思维方法颇具特色，对培养和检测学生思维能力具有不可小视的作用．本文结合教学实际，就学生解概率题时因对相关概念理解不清而导致错误进行分类辨析，供大家参考．【例1】口袋中有2个红球，3个白球和5个黑球，从中有放回地取20次，每次取出1个球后记下颜色，统计结果如下表：球颜色红球白球黑球取到次数569则取到红球的频率是()A．0.2B．0.25C．0.3D．0.5一、“频率”与“概率”混同错解A剖析产生错解的原因是将统计数据的频率与事件发生的概率两个概念混同，以为共10个球，红球有2个，则所求为0.2，实际上这是一个理想化的数据，是概率值，而不是统计数据涉及的频率．概率是频率的稳定值，可以从频率方面体现出来，但频率是统计结果，具有个性化特征，而概率具有概括性和稳定性，具有理想化特征．正解所求频率为520＝0.25，故选B.二、“非等可能”与“等可能”混同【例2】任意投掷两枚骰子，求出现点数和为奇数的概率．错解点数和为奇数，可取3,5,7,9,11共5种可能，点数为偶数可取2,4,6,8,10,12共6种可能，于是出现点数和为奇数的概率为55＋6＝511.剖析上述解法是利用等可能性事件的概率模型，此时必须保证每一个基本事件出现的可能性均等，而上述解法点数和为奇数、偶数出现的机会显然不均等，因此不能用等可能性事件的概率模型来解答．正解出现点数和为奇数，由数组(奇，偶)、(偶，奇)组成，共有2×3×3＝18个不同结果，这些结果的出现是等可能的，故所求概率为1836＝12.三、“有序”与“无序”混同【例3】一个口袋装有6个球，其中4个白球，2个红球，从口袋中取球两次，第一次取出1个球不放回口袋，第二次从剩余的球中再取1球，求取到的2个球中至少有1个白球的概率．错解取到的2个球中至少有1个白球包括：2个都是白球，1个白球1个红球，故取到的2个球中至少有1个白球出现的结果数为A24＋A12A14，据等可能性事件的概率的求法，则取到的2个球中至少有1个白球的概率为A24＋A12A14A26＝23.剖析这是古典概型常见模型——摸球模型，有“有序”与“无序”之分，不能混淆，从上述解法中可知：取球的过程是有序的，那么在取到1个白球1个红球的情形中第一次取到白球、第二次取到红球与第一次取到红球、第二次取到白球是两种不同的情形，上面解答忽视了取球的有序性．正解1(正向思考)取到2个球中至少有1个白球出现的结果数为A24＋A12A14＋A14A12，故所求概率为A24＋2A12A14A26＝1415.正解2(逆向思考)所求事件的对立事件是：取到的2个球都是红球，故所求概率为1－A22A26＝1415.正解3因为“求取到的2个球中至少有1个白球的概率”与取球顺序无关，故所求概率为C24＋C14C12C26＝1415.四、“互斥”与“对立”混同【例4】从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．至少有1个白球，都是白球B．至少有1个白球，至少有1个红球C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是红球错解D剖析此解错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同．要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．正解A，B不互斥，当然也不对立，C互斥而不对立，D不但互斥而且对立，所以正确答案应为C.五、“互斥”与“独立”混同【例5】某零件从毛坯到成品，一共要经过六道自动加工工序，如果各道工序出次品的概率依次是1%,2%,3%,3%,5%,5%，那么这种零件的次品概率是多少？错解设第i道工序出次品的事件为Ai(i＝1,2,3,4,5,6)，则P(A1)＝0.01，P(A2)＝0.02，P(A3)＝P(A4)＝0.03，P(A5)＝P(A6)＝0.05.Ai(i＝1,2,3,4,5,6)中至少有一个事件发生就出现次品，则这种零件的次品率为P(∑6i＝1Ai)＝∑6i＝1P(Ai)＝0.19＝19%.剖析错误原因在于把第i道工序出次品的事件Ai，当成互斥事件，而本题中出次品的事件Ai是相互独立事件．正...
