主页主页一轮复习讲义一轮复习讲义等差数列与等比数列主页主页1．等差、等比数列的常用性质(1)若{an}是等差数列，则①m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，则有.②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成数列．(2)若{an}是等比数列，则①m，n，p，r∈N*，则m＋n＝p＋r，则有.②{an}是等比数列，则{a2n}、1an是数列．③若Sn≠0，且q≠－1，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，……构成数列．要点梳理忆一忆知识要点am＋an＝ap＋ar等差am·an＝ap·ar等比等比主页主页2．等差数列与等比数列的联系(1)若数列{an}是等差数列，则数列{aan}是等比数列，公比为ad，其中a是常数，d是{an}的公差．(a>0且a≠1)．(2)若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列{logaan}是等差数列，公差为logaq，其中a是常数且a>0，a≠1，q是{an}的公比．(3)若{an}既是等差数列又是等比数列，则{an}是非零常数列．忆一忆知识要点要点梳理主页主页[难点正本疑点清源]1．用函数的观点理解等差数列、等比数列的单调性(1)对于等差数列{an}， an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点(n，an)是位于直线y＝dx＋(a1－d)上的若干个点．当d>0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d<0时，函数是减函数，对应的数列是递减数列．主页主页(2)对于等比数列：an＝a1qn－1，可用指数(型)函数的性质来理解．当a1>0，q>1或a1<0,00,01时，等比数列是递减数列．当q＝1时，是一个不为0的常数列．当q<0时，数列的项正负相间出现，不具备单调性，它是一个摆动数列．2．等比数列{an}的前n项和SnSn，S2n－Sn，S3n－S2n，……不一定构成等比数列，如数列：2，－2，2，－2，…….因为在等比数列中不能有0项，所以要使Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，……为等比数列，必须有Sn≠0且q≠－1.主页主页例1是否存在互不相等的三个实数a、b、c，使它们同时满足以下三个条件：①a＋b＋c＝6.②a、b、c成等差数列．③将a、b、c适当排列后成等比数列．等差、等比数列的基本运算等差、等比数列的基本运算解由②知2b＝a＋c，∴a＋b＋c＝3b＝6，∴b＝2，a＋c＝4.若a、b、c成等比数列，则b2＝ac＝4，∴a＝c＝2，不符合条件．主页主页若b、a、c(或b、c、a)成等比数列，则a2＝bc＝2c，∴a2＋2a－8＝0，解之得：a＝－4或a＝2.∴a＝－4c＝8或a＝2c＝2(舍去)．∴2，－4,8或8，－4,2成等比．∴存在互不相等的实数，－4,2,8或8,2，－4使它们同时满足三个条件．主页主页(1)对于等差数列的通项公式及前n项和公式，要注意从公式的正向、逆向以及变式等角度掌握它们．等差数列的通项公式及前n项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算题目．(2)在已知三个数成等差数列时，要注意“对称设元”、“整体消参”和“设而不求”的方法．探究提高主页主页有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求这四个数．变式训练1解 后三个数成等差数列，可设四个数为x，y－d，y，y＋d.由已知，得xy＝y－d2，x＋y－d＋y＝19，y－d＋y＋y＋d＝12，解得x＝9，y＝4，d＝－2或x＝25，y＝4，d＝14，∴四个数为9,6,4,2或25，－10,4,18.主页主页例2设数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{bn}满足bn＝anan＋m(m∈N*)．(1)若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；(2)是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4，bt(t∈N*，t≥5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由．等差、等比数列的判定等差、等比数列的判定或探索或探索解当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.主页主页(1)由bn＝anan＋m(m∈N*)知b1＝11＋m，b2＝33＋m，b8＝1515＋m，∴b1，b2，b8成等比数列，∴33＋m2＝11＋m×1515＋m，解之得：m＝9或m＝0(舍去)．故m＝9.(2)若存在m，使b1，b4，bt成等差数列，则2b4＝b1＋bt，∴77＋m×2＝11＋m＋2t－12t－1＋m，∴t＝7m＋1m...
