函数的奇偶性一、知识要点：1、函数奇偶性定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数；如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数。函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称．(2)利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y轴对称的函数为偶函数。3、函数奇偶性的性质：奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．【精典范例】一．判断函数的奇偶性：例1：判断下列函数是否是奇函数或偶函数：判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)，(4)(5)2.判断下列函数的奇偶性：①,②,③④二．利用函数奇偶性求函数解析式：例2：已知是定义域为的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x－2|，求x<0时，f(x)的解析式．题型3：函数奇偶性的应用1．设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1-m)0，求实数m的取值范围3函数是定义在上的奇函数，且为增函数，若，求实数a的范围。4.函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若,则实数的取值范围是5是奇函数，它在区间（其中）上为增函数，则它在区间上（）A.是减函数且有最大值B.是减函数且有最小值C.是增函数且有最小值D.是增函数且有最大值一、基础过关1．下列说法正确的是________．(填序号)①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；②如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称；③如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；④如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数．2．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，正确的是________．(填序号)①f(－x)＋f(x)＝0；②f(－x)－f(x)＝－2f(x)；③f(x)·f(－x)≤0；④＝－1.3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是________函数(填“奇”“偶”“非奇非偶”)．4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________________．5．给出函数f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是________．(填序号)①(a，－f(a))；②(a，f(－a))；③(－a，－f(a))；④(－a，－f(－a))．6．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，则实数m的取值范围为________．7．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x4；(2)f(x)＝x5；(3)f(x)＝x＋；(4)f(x)＝；(5)f(x)＝；(6)f(x)＝＋.8．已知函数f(x)＝(a，b，c∈Z)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)<3，求a，b，c的值．二、能力提升9．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是______．10．若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝________.11．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a)>f(2a)，则实数a的取值范围是______________．12．已知函数f(x)＝1－.(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．三、探究与拓展13．已知奇函数f(x)＝.(1)求实数m的值，并画出y＝f(x)的图象；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．
