中学数学《勾股定理》从某种意义上说，勾股定理的教与学是数学教改的晴雨表：上一世纪五六十年代数学课程中的严格论证、后来提倡的“量一量、算一算”、之后的“告诉结论”、“做中学”，直到现在的探究式等，在勾股定理的教学中都有各自的追求。数学教学要培养学生数学计算、数学论证乃至数学推断等能力，勾股定理的教学正是一个恰当的例子。为实施探究水平的教学，研究者对教师日常的课堂行为进行分析，结果表明，教师虽有探究式教学的理念，但在师生行为的设计上有两个难解的困惑：①通过度量直角三角形三条边的长，计算它们的平方，再归纳出a2+b2=c2，由于得到的数据不总是整数，学生很难猜想出它们的平方关系，因此教师常常把勾股定理作为一个事实告诉学生；②勾股定理的证明有难度，一般来说学生很难自行探究，寻得解决的方法。一项对澳大利亚、捷克、香港和上海四地勾股定理的课堂教学研究表明：澳大利亚是把勾股定理作为一个事实(知识)告诉学生，只字未提证明，捷克和香港虽然介绍了多种证明方法，但事实上只是通过演示手段，让学生直观地确认所发现的关系。可见，直接让学生猜想和证明勾股定理是有困难的。事实上，多数教师教勾股定理，基本采用讲解的方式，在我们视野所及的范围内，即使有教师力图实施探究性教学，也只是停留于形式，称不上实质意义上的探究。那么能否通过设计合适的学习情境做铺垫，引发学生的数学猜想；能否在铺垫的基础上，通过数形结合，引导学生自行论证，并从中懂得反驳与证明的价值呢？我们在研究中做了这样的改进：运用“脚手架”理论，通过“工作单”进行铺垫，为学生的学习提供一种教学协助，帮助学生完成在现有能力下对高认知学习任务的难度的跨越。工作单1.在方格纸内斜放一个正方形ABCD，正方形的4个顶点都在格点上，每个小方格的边长为1个长度单位,怎样计算正方形ABCD的面积？这一环节是教师设置铺垫，为学生的探究提供教学协助。斜放正方形的面积可按右图启示的思路计算（正放的大正方形的面积减去4个阴影直角三角形的面积）。这时所得数据都是整数，有利于学生猜想直角三角形三边之间的关系。此外，这一种面积补割的方法又可以引导出勾股定理的一种证明方法。工作单2.直角三角形两条直角边（a、b）和斜边（c）之间有什么关系？用前面提供的方法分别计算下列四图中的a2、b2、2ab及c2的值，并填表，然后猜测它们之间的数量关系。代数项图①图②图③图④a214916b24916252ab4122440c25132541①②④③注：表内数据是后来填上去的第二个环节是根据数据出猜想。学生运用第一份工作单提供的方法，计算并填表，然后归纳表内数据，猜测直角三角形两条直角边和斜边之间可能有的关系。学生通过仔细观察，很容易猜想出“a2+b2=c2”。出人意料的是，有的学生根据数据表还归纳出了“2ab+1=c2”的猜想。对这个猜想，教师问“它是不是一个普遍的规律呢？”此时，另有学生举出了a=2、b=4等例子作反驳，因为2ab+1=17，而c2=20，它们并不相等，故可予以否定。那么“a2+b2=c2”是否也可举例推翻呢？例子举不胜举，但都否定不了，看来要确认它为定理，只有依赖逻辑证明这一有力手段了。在这里，学生的尝试错误已被作为一种有效的教学资源，成为他们懂得反驳与证明的价值，激发探究勾股定理证明方法的直接动因。工作单3.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这一命题是从以上几个特殊例子得出的，而对于一般的直角三角形，它是否成立呢？把图中的方格纸背景撤去，并且隐去a、b的具体数值，在直角三角形ABC中，已知∠ACB=90°，BC=a，CA=b，AB=c，利用刚才计算斜放正方形面积的方法证明a2+b2=c2这一命题的正确性。第三个环节拆除了原先的铺垫，通过数形结合，让学生学会逻辑证明的一般方法。之前，第一个环节计算斜放正方形面积的方法，实际上蕴含了一种通过计算论证定理的思路：c2=（a＋b）2－2ab，第二个环节又强化了这一条思路，到这时经过上述铺垫，定理证明的难度明显降低了，学生完全可以亲自“做出来”。整个过程中，学生猜想结论，证明定理，成功地亲历了知识的形成过程，又充分体验了解决问题的愉悦。这后一种收获可以说是“脚手架”策略...
