《函数的奇偶性》课件VIP免费

1.3.2奇偶性函数奇偶性的概念1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2),f(-1),f(1),及f(-x),并画出它的图象。解:f(-2)=(-2)2=4f(2)=4f(-1)=(-1)2=1f(1)=1f(-x)=(-x)2=x22.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x)解:f(-2)=(-2)3=-8f(2)=8f(-1)=(-1)3=-1f(1)=1f(-x)=(-x)3=-x3思考:你发现了什么规律?f(-2)=f(2)f(-1)=f(1)f(-x)=f(x)f(-2)=-f(2)f(-1)=-f(1)f(-x)=-f(x)-xxf(-x)f(x)-xf(-x)xf(x)xyoxyo(x,y)(-x,y)(-x,-y)(x,y)1.函数奇偶性的概念:偶函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.☆对奇函数、偶函数定义的说明:(1).定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。[a,b][-b,-a]xo（2）.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若f(x)为奇函数,则f(-x)=－f(x)成立。若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。（3）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。(1)若f(x)是奇函数,且f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在[-b,-a]上也为单调函数,且具有相同的单调性.(2)若f(x)是偶函数,且f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)在[-b,-a]上也为单调函数,且具有相反的单调性.1．定义在R上的奇函数，必有f(0)＝.2．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是函数，且有最小值.3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是函数.0增－M增（（11）图像法）图像法（（22）定义法）定义法例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.2()2fxxyxyx2()2fxxx－yx()21fxxyx()2fxxy,1xxoy(a,f(a))(-a,f(-a))-aa奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数.xoy-aa(a,f(a))(-a,f(-a))偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.例2.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2x4+3x2解:又 f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)即f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数又 f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2∴f(x)为偶函数定义域为R,关于原点对称解:定义域为R，关于原点对称即f(-x)=f(x)练习1.说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数①f(x)=x4________f(x)=x④-1__________②f(x)=x________奇函数⑤f(x)=x-2__________偶函数③f(x)=x5__________⑥f(x)=x-3_______________说明：对于形如f(x)=xn的函数，若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。⑴先求定义域，看是否关于原点对称;⑵再判断f(－x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立。（3）根据函数奇偶性的定义作出结论。☆说明:用定义判断函数奇偶性的步骤:练习2.判断下列函数的奇偶性(2)f(x)=-x2+1∴f(x)为奇函数又 f(-x)=-(-x)2+1=-x2+1∴f(x)为偶函数(1)f(x)=x-1x解：定义域为﹛x|x≠0﹜，关于原点对称解：定义域为R，关于原点对称又 f(-x)=(-x)-1-x=-x+1x即f(-x)=-f(x)即f(-x)=f(x)(3).f(x)=5(4)f(x)=0解:(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称。又 f(-x)=f(x)=5∴f(x)为偶函数解:(4)定义域为R，关于原点对称。又 f(-x)=f(x)=0又f(-x)=-f(x)=0∴f(x)为既奇又偶函数yox5oyx说明:函数f(x)=0(定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。(5).f(x)=x+1(6).f(x)=x2x∈[-1,3]解:(5)f(-x)=-x+1 -f(x)=-x-1∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠–f(x)∴f(x)为非奇非偶函数解:（6） 定义域不关于原点对称∴f(x)为非奇非偶函数yoxox-13y奇函数说明：根据奇偶性,偶函数函数可划分为四类:既奇又偶函数非奇非偶函数用定义法判断函数奇偶性解题步骤:(1)先确定函数定义域,并判断定义域是否关于原点对称;(2)求f(-x)，找f(x)与f(-x)的关系;若f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数.(3)作出结论.f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函数或即是奇函数又是偶函数。2.奇偶函数图象的性质:⑴奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.⑵偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数...