3第3节向量的乘法运算3.1两向量的数量积设物体在常力的作用下沿直线从点移到点，用表示位移向量，力在位移方向上的分力大小为，则力所作的功为：．我们把这种运算规则推广到一般向量如下．定义3.1设是两向量，且它们之间的夹角为，称数为向量与的数量积，并记作，即．(3.1)向量的数量积也称为（向量的）点积或（向量的）内积．由此定义，力所做的功实际上是力与位移的数量积，即．由于时,是在向量上的投影,故(3.1)可表示为类似地,时有．这表明：若两向量至少有一非零向量,则它们的数量积等于其中非零向量的模与另一向量在此非零向量上的投影的乘积．思考题：1．如何用，表示？（。）FcosF2Mr1M图3.114离散数学由数量积的定义出发可推得以下结论:(1)；证事实上，与的夹角，故若向量，的夹角,则称向量与正交(或垂直).记作.(2)的充要条件是（垂直条件）；证当向量，中有一个为时,结论显然成立.不妨设，均非,则（而）（又）．(3)(交换律)；事实上，．(4)(分配律)；证当向量为时,结论显然成立.不妨设为非。根据向量投影的线性性，(5)(数乘向量的结合律)．证当向量，中有一个为时,结论显然成立.不妨设，均非。根据向量投影的线性性，思考题：2．如果向量与任意向量都正交,则是一个怎样的向量?（零向量。）3．对于三个标准向量，其中任一向量与另外两者之一的数量积等于何值？（0）又，它与自身的数量积等于何值？（1）15第1章集合以上是数量积的几何内容。下面把这些内容翻译成坐标表示。由数量积的性质不难推导出用坐标计算数量积的表示式．设，，则．(3.2)（两向量的数量积等于对应坐标乘积加起来）事实上，有．由数量积的定义,若，，则与之间的夹角满足(3.3)若，则．(3.4)显然,设向量,垂直条件又可以表示为的充分必要条件是．【例3.1】已知三点，和，求向量与之间的夹角．解，，而，，故.14离散数学【例3.2】设液体流过平面上面积为的一个区域，液体在该区域上各点处的流速均为常向量，设为垂直于的单位向量，计算单位时间内经过该区域流向所指向一侧的液体的质量(设液体的密度为常数)．解单位时间内流过区域的液体形成一个底面积为，斜高为的斜柱体，且斜高与底面垂线的夹角即为向量与之间的夹角(图3.3)．所以，该斜柱体的高为，即在上的投影,故斜柱体的体积为，从而，单位时间内经过区域流向所指一方的液体的质量为．显然，若，即垂直于平面时，．【例3.3】设证明不等式(Cauchy-Schwarz不等式):.证设向量,由于,故将的坐标代入上式即得所要证明的不等式．又,若平行,则上式成为等式．思考题：4．试用向量方法证明余弦定理并由此导出向量的数量积的坐标表示式.证作如图3.3.1，则.注意到，A图3.3Avqnp15第1章集合图3.3.114离散数学3.2(测)两向量的向量积我们定义向量的另一种乘法运算．定义3.2设向量,,规定向量与的向量积为一新的向量,记作，它的模与方向分别为(1)，(2)同时垂直于与,且,,满足右手规则，即右手的四个手指从的正向以不超过的转角转向的正向握拳时，大拇指的指向就是的方向.向量的向量积又常称作向量的叉积或外积．不难看出,两向量的向量积有如下的几何意义:①的模:即模表示以与为边的平行四边形的面积(图3.5)．②的方向:由定义知,与和所确定的平面相垂直.由定义,容易推得,对任意向量,,有；；.此外,不作证明地给出向量积的如下运算律:对任意向量,,及任意实数，，(1)(分配律),；(2)；(3)(数乘结合律)利用向量积的定义,我们还可得到两向量平行的另一个充分必要条件:设两向量,，则的充分必要条件是．事实上，若,中有一个为零向量,则命题显然成立.若,均非零向量,由于等价于,即,又,故上式等价于,即或,亦即.ab图3.5sinb15第1章集合下面导出用坐标计算向量积的表示式：设，，则有注意到,对于标准单位向量,有；；，于是，有(3.5)引入行列式记号,即有(3.6)（二阶行列式。懂三阶行列式的同学记住（3.7）简单一些，懂二阶行列式的同学记住（3.6），不懂行列式的同学记住（3.5）。注意足标的排列规律！）或(3.7)思考题：5．试根据向量积的定义及坐标表示式导出两向量,的夹角公式.6．试给出两向量平行的充分必要条件的坐标表示式,并与第2节中有关结论进行比较.14离散数学【例3.4...
