24图形的相似(三)电子课本VIP免费

证明如图 24．4．2，△ABC 中，点 D、E 分别是 AB 与 AC 的中点，∴ ADAB = AEAC =12 ． ∠A＝∠A，∴ △ADEABC∽△（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似），∴ ∠ADE＝∠ABC，DEBC =12 （相似三角形的对应角相等，对应边成比例），∴ DE BC∥且DE=12 BC．概括我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．例 1求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知： 如图 24．4．3 所示，在△ABC 中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求证： AE、DF 互相平分．证明连结 DE、EF．因为AD＝DB，BE＝EC，所以 DE AC∥（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）．同理 EF AB∥．所以四边形 ADEF 是平行四边形．因此 AE、DF 互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．例 2如图 24．4．4，△ABC 中，D、E 分别是边 BC、AB 的中点，AD、CE 相交于 G．求证： GECE =GDAD =13 ．证明连结 ED， D、E 分别是边 BC、AB 的中点，∴ DE AC∥，DEAC =12 （三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），∴ △ACGDEG∽△，∴ GEGC =GDAG = DEAC =12 ，∴ GECE =GDAD =13 ．拓展如果在图 24．4．4 中，取 AC 的中点 F，假设 BF 与 AD 交于 G′，如图 24.4.5，那么我们同理有G' DAD =G' FBF =13 ，所以有GDAD =G' DAD =13 ，即两图中的点 G 与 G′是重合的．于是，我们有以下结论： 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13 ．由三角形的中位线的有关结论，我们还可以得到梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．已知： 如图 24．4．6 所示，在梯形 ABCD 中，AD BC∥，AE＝BE，DF＝CF．求证： EF BC∥，EF＝12 （AD＋BC）．分析由于本题结论与三角形中位线的有关结论比较接近，可以连结 AF，并延长 AF 交BC 的延长线于 G，证明的关键在于说明 EF 为△ABG 的中位线．于是本题就转化为证明AF＝GF，AD＝CG，故只要证明△ADFGCF△．思考如图 24．4．7，你可能记得梯形的面积公式为S=12 (l1+l2)h．其中l1、l2 分别为梯形的两底边的长，h 为梯形的高．现在有了梯形中位线，这一公式可以怎样简化呢？它的几何意义是什么？练习1． 如图，...