第 第 17 17 讲 数形结合思想讲 数形结合思想第 17 讲 │ 数形结合思想主干知识整合第 17 讲 │ 主干知识整合 数形结合思想是数学的一种思想方法．纵观历年高考，应用数形结合的思想解代数问题的试题每年都有，也就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，往往会起到事半功倍的效果．它包含以形助数和以数解形两个方面．利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它还兼有数的严谨与形的直观之长，也是优化解题过程的重要途径．一方面要使学生通过背景材料，进行观察、比较、分析、综合、抽象和推理，得到数学概念和规律；另一方面要求学生接触自然、了解社会，能用数学知识和思想解决简单的实际问题，提高数学建模的能力． 第 17 讲 │ 主干知识整合 数形结合的主要方法有：解析法、三角法、向量法、图象法等． 数形结合的主要途径： (1)“形”中觅“数”．很多数学问题，需要根据图形寻找数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题获解．以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法． 第 17 讲 │ 主干知识整合 (2)“数”上构“形”．很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可以发现它具有某种几何特征，由于这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，从而将代数问题化为几何问题，使问题获解．以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合． (3)数形结合．即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观、简捷． 要点热点探究第 17 讲 │ 要点热点探究► 探究点一 数形结合在函数、不等式中的应用 例 1 已知 m≥1，n≥1 且 log2am＋log2an＝loga(am)2＋loga(an)2－2(a>1)，求 loga(mn)的最值． 第 17 讲 │ 要点热点探究【解答】 令 x＝logam，y＝logan，这时问题转化为：(x－1)2＋(y－1)2＝4(x≥0，y≥0)，求 x＋y 的最值． 设 x＋y＝b，则 y＝－x＋b.从曲线(x－1)2＋(y－1)2＝4(x≥0，y≥0)的图象(一段圆弧)可知，当直线与圆相切时，纵截距最大，且最大值为 2＋2 2， 当直线过 A，B 两点时，纵截距最小，且最小值为 1＋ 3， 即 loga(mn)的最大值为 2＋2 2，最小值为 1＋ 3. 第 17 讲 │ 要点热点探究【点评】 本题把三角方程通过换元法，巧妙地转化为直线与圆的有关问题，可谓是极具创新性的解题，避免常规方法中的繁杂与高难度，又能通...
