第 二 节基本不等式 考纲解读 1．了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 考向预测 1．以考查基本不等式的应用为重点，兼顾考查代数式变形、化简能力，注意“一正、二定、三相等”的条件． 2．考查方式灵活，可出选择题、填空题，也可出解答题． 3．以不等式的证明为载体，与其他知识结合在一起来考查基本不等式，证明不会太难． 知识梳理 1．基本不等式 如果 a、b 都是正数，那么a＋b2≥ ，当且仅当 时，等号成立． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ (a，b∈R )． (2)ba＋ab≥ (a，b 同号)． (3)ab≤a＋b22(a，b∈R )． 2 2 ab a＝b ab 3．算术平均数与几何平均数。 设 a＞0，b＞0，则 a，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为：两个正数的 不小于它们的 。 几何平均数 算术平均数 ab a＋b2 4．利用基本不等式求最值问题 已知 x＞0，y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 时，x＋y 有最 值是 .(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 S，那么当且仅当 时，xy 有最 值是 .(简记：和定积最大)． x＝y 2p 小 S24 大 x＝y 5．以下关系式经常用到： (1)1a＋a≥2(a>0)，1a＋a≤－2(a<0)． (2)a2＋b22≥a＋b2≥ ab≥ 21a＋1b(a、b∈R＋)． (3)分式不等式a＋mb＋m > ab(b> a>0，m> 0) 基 础 自 测 1.(2011·重庆文，7)若函数 f(x)＝x＋ 1x－2 (x> 2)在 x＝a 处取最小值，则 a＝( ) A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．4 [ 答案 ] C [解析] 该题考查均值不等式求最值，注意“一正二定三相等”属基础题． f(x)＝x＋1x－2(x> 2)＝x－2＋ 1x－2＋2 ≥2x－2· 1x－2＋2＝4. 当且仅当 x－2＝ 1x－2，即(x－2)2＝1， x>2，∴x－2>0， ∴x－2＝1，即 a＝3. 2．下列函数最小值为 4 的是( ) A．y＝x＋4x B．y＝sinx＋ 4sin x (0＜x＜π) C．y＝3x＋4·3－x D．y＝lgx＋4log x10 [ 答案 ] C [解析] A 中没有强调 x＞0 不能直接运用基本不等式，故不对．B 中虽然 x∈(0，π)，sinx＞0，但运用基本不等式后，等号成立的条件是 sinx＝ 4sin x即 sinx＝±2 矛盾，所以等号取不到，故不对．C 中 3x＞0，∴可直接运用基本不等式 3x＋4·3－x≥24＝4，当且仅当 3x＝ 43x，即 3x＝2，x＝log 32 时取等号，故正确．D 中由于没有给出 x...
