选修选修 2-12-1立体几何中的向量方法 (Ⅰ)—— 证明平行与垂直 1．用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)给定一个定点 A 和一个向量 a，再任给一个实数 t，以 A为起点作向量AP→ ＝ta，则此向量方程叫做直线 l 的参数方程．向量 a 称为该直线的方向向量． (2)对空间任一确定的点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在唯一的实数 t，满足等式OP→ ＝(1－t)OA→ ＋tOB→ ，叫做空间直线的向量参数方程． 忆 一 忆 知 识 要 点要点梳理2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2，则 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)⇔ . (2)设直线 l 的方向向量为 v，与平面 α 共面的两个不共线向 量 v1 和 v2，则 l∥α 或 l⊂ α⇔ . (3)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l∥α 或 l⊂ α⇔ . (4)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1，u2，则 α∥β⇔ . 忆 一 忆 知 识 要 点v1∥v2 xv1＋yv2 存在两个实数 x，y，使 v＝ v⊥u u1 ∥u2 要点梳理3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2，则 l1⊥l2⇔ ⇔ . (2)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l⊥α ⇔ . (3)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2，则 α⊥β⇔ ⇔ . 忆 一 忆 知 识 要 点v1⊥v2 v1·v2＝0 v∥u u1⊥u2 u1·u2＝0 要点梳理[难点正本 疑点清源] 1．直线的方向向量实质上是与直线平行的非零向量，它有无数 多个，平面的法向量也有无数个． 2．利用空间向量解决立体几何中的平行问题 (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是 共线向量，但要注意说明这两条直线不共线． (2)证明线面平行的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但要说明直线 不在平面内． ②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线，也要说明直线不在平面内． ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的 两个不共线向量是共面向量．同时要注意强调直线不在平面内． 例 1（ 1 ） (2)=-已知向量n （2，3, 1）是平面 的一个法向量，则下列向量能作为平面法向量的是（ ）1(0, 3,1)An （ ）2(2,0,1)Bn （ ）3( 2, 3,1)n （C）4( 2,3, 1)Dn （ ）(2 2 1)(4 5 3)A...
