7 立体几何中的向量方法要点梳理1
直线的方向向量与平面的法向量的确定 （ 1 ）直线的方向向量：在直线上任取一 向 量作为它的方向向量
（ 2 ）平面的法向量可利用方程组求出：设 a,b 是 平面 α 内两不共线向量， n 为平面 α 的法向量， 则求法向量的方程组为非零
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空间向量与空间角的关系 (1) 设异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 m1,m2 ， 则 l1 与 l2 所成的角 θ 满足
(2) 设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别 为 m,n ，则直线 l 与平面 α 所成角 θ 满足
(3) 求二面角的大小 ① 如图①， AB 、 CD 是二面角 α—l—β 的两个面 内与棱 l 垂直的直线 , 则二面角的大小 θ=
cos θ=|cos 〈 m1,m2 〉|sin θ=|cos 〈 m,n 〉 |CDAB,② 如图②③， n1 ， n2 分别是二面角 α—l—β 的两个半平面 α ， β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足cos θ=
cos 〈 n1,n2 〉或 -cos 〈 n1,n2 〉3
点面距的求法 如图 , 设 AB 为平面 α 的一条斜线段 ,n 为平面 α的 法向量 , 则 B 到平面 α 的距离 d=
||||nnAB基础自测1
若直线 l1,l2 的方向向量分别为 a=(2,4,-4),b= (-6,9,6) ，则 ( ) A
l1∥l2 B
l1⊥l2 C
l1 与 l2 相交但不垂直 D
以上均不正确 解析 a·b=-12+36-24=0 ，∴ a⊥b ， ∴l1⊥l2
已知平面 α 内有一个点 M （ 1 ， -1 ， 2 ），平面α 的一个法向量是 n= （ 6 ， -3 ， 6 ），则下列点 P中 在平面 α 内的是 (
