§8.7 立体几何中的向量方法要点梳理1. 直线的方向向量与平面的法向量的确定 （ 1 ）直线的方向向量：在直线上任取一 向 量作为它的方向向量 . （ 2 ）平面的法向量可利用方程组求出：设 a,b 是 平面 α 内两不共线向量， n 为平面 α 的法向量， 则求法向量的方程组为非零 .00bnan基础知识 自主学习2. 空间向量与空间角的关系 (1) 设异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 m1,m2 ， 则 l1 与 l2 所成的角 θ 满足 . (2) 设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别 为 m,n ，则直线 l 与平面 α 所成角 θ 满足 . (3) 求二面角的大小 ① 如图①， AB 、 CD 是二面角 α—l—β 的两个面 内与棱 l 垂直的直线 , 则二面角的大小 θ= .cos θ=|cos 〈 m1,m2 〉|sin θ=|cos 〈 m,n 〉 |CDAB,② 如图②③， n1 ， n2 分别是二面角 α—l—β 的两个半平面 α ， β 的法向量，则二面角的大小 θ 满足cos θ= .cos 〈 n1,n2 〉或 -cos 〈 n1,n2 〉3. 点面距的求法 如图 , 设 AB 为平面 α 的一条斜线段 ,n 为平面 α的 法向量 , 则 B 到平面 α 的距离 d= .||||nnAB基础自测1. 若直线 l1,l2 的方向向量分别为 a=(2,4,-4),b= (-6,9,6) ，则 ( ) A.l1∥l2 B.l1⊥l2 C.l1 与 l2 相交但不垂直 D. 以上均不正确 解析 a·b=-12+36-24=0 ，∴ a⊥b ， ∴l1⊥l2.B2. 已知平面 α 内有一个点 M （ 1 ， -1 ， 2 ），平面α 的一个法向量是 n= （ 6 ， -3 ， 6 ），则下列点 P中 在平面 α 内的是 ( ) A.P （ 2 ， 3 ， 3 ） B.P （ -2 ， 0 ， 1 ） C.P （ -4 ， 4 ， 0 ） D.P （ 3 ， -3 ， 4 ） 解析 n= （ 6 ， -3 ， 6 ）是平面 α 的法向量， ∴n⊥ ，在选项 A 中， = （ 1 ， 4 ， 1 ）， ∴n· =0.AMPMPMP3. 已知两平面的法向量分别为 m= （ 0 ， 1 ， 0 ）， n= （ 0 ， 1 ， 1 ） , 则两平面所成的二面角为 ( ) A.45° B.135° C.45° 或 135° D.90° 解析 即〈 m,n 〉 =45° ，其补角为 135°. ∴ 两平面所成二面角为 45° 或 135°.,22211||||,cosnmnmnmC4. 如图所示，在空间直角坐标系中， 有一棱长为 a 的正方体 ABCO— A...
