1.7 二元一次不定方程人教 B 版数学选修 4-6 《初等数论初步》 中国古代数学家张丘建曾经解答了下面的问题 : “ 鸡翁一 , 值钱五 , 鸡母一 , 值钱三 , 鸡雏三 , 值钱一 . 百钱买百鸡 . 问鸡翁母雏各几何？” 此题系《张丘建算经》卷下的最后一题 , 作者生卒年代已不易考 , 该书今传本在《算经十书》之内 ., ,,,,:153100,3100,74100.x y zxyzxyzxy设用分别表示鸡翁 鸡母 鸡雏的数目得到下列方程化简 得二元一次不定方程的一般形式 ,,,(1),.a bcaxbycx y设是非零整数 是整数 任何二元一次方程都可以写成其中是未知数注意 方程的个数少于未知数的个数且未知数又必须为整数的方程 ( 组 ) 称为不定方程 ( 组 ). 在国外 , 第一个研究不定方程的是公元前 250 个左右的希腊大数学家丢番图 (Diophantus). 在他所著的 13 卷数学书《算术》里 , 曾对许多不定方程一个一个地研究它们的解 . 因此不定方程又叫丢番图方程 .74100.xy下面先研究方程的整数解74100,41007 ,1007252,44,4 ,257 .44,()257xyyxxxyxxtxtytxttyt令则从而是任意整数:7 04 25100,( , ),74100,74(25)0,74(25),4 7 ,4,4 .257 ,4,()257x yxyxyxyxxxtytxttyt 另解设是方程的任意一组解则两式相减得:即从而是任意整数定理 1,,,( , ),( , ).a bcaxbycx yd cda b设是非零整数 是整数 方程有整数解的充要条件是其中00000000:( , ),,,,.,,,,,,,(,).axbycx yd a d bd axbycd cd cqcdqxyaxbydax qby qdqaxbycqx qy证明若方程有整数解即若则存在整数使可知存在整数适合则即方程有整数解定理 20000( , )1,(,),,.a bxyaxbycxxbttyyat若如果是方程的一组解则它所有整数解都可写成其中 为任意整数000000000000000:1,( , )1,(1),(,)(1),()(),(1).( , )(1),,,- ( -)( -),( , )1,,-a bxyaxbya xbtb yataxabtbyabtaxbycxxbtyyatx yaxbycaxbyca x xb y ya bty y 证明 由定理 知 当时 方程有解如果是方程的解为方程的解又若是方程的解 则又又则可知有一整数 使0000-,- ( -)(-),,.ata x xb atxxbtxxbtyyat...
