《伽罗瓦与群论》课件VIP专享VIP免费

1伽罗瓦与群论23456§1,1 对称性的意义 在非相对论量子力学，经常使用外场的概念，外场存在使系统对称性降为外场的几何对称性，全同粒子的置换对称性对多体问题是重要的。因此，这两种对称性对于原子，原子核，分子和固体系统的理论，具有重要的意义。 1.2 ，对称变换 在量子力学中，一个系统的状态用波函数 ψ （ r ）来描述，现考查在空间变换和粒子的置换变换下波函数的导出形式，以及对称变换的条件。 用 f 表示坐标空间的一个变化，它使 r 变成 记为 f 可以是平移 a ，绕 z 轴转 θ 角，或对原点的反演，具体表示为：平移frr zyxazzayyaxx,,r7§1,1 对称性的意义绕 z 轴转动和反演 当坐标空间发生变化时，系统的状态波函数 ψ 也会发生变化，变为 ， 在 处的值即为 ψ 在 r 处的值，可写为 zyxzyx1000cossin0sincoszyxzyx100010001  frr )()(rfr8§1,1 对称性的意义 若将 fr 记为 r ， r 就变为 ，上式可以写为 （ 1.2 ） 波函数 ψ （ r ）变为 的变换，也可以用一个算符 来表示，记为 也可写为 ，这式可以看成算符 的定义。当 f 为空间反演时， 便是宇称算符， ， 当 f 是空间平移时， 是平移算符，从（ 1.2 ）式出发，利用泰勒展开可以推出平移算符的显式为其中 是动量算符。 rf1)()(1rfr)(r Fˆ)(ˆ)(rFr)()(ˆ1rfrFFˆFˆFˆ)()(ˆrrFPaieaFˆ.)(ˆPˆ9§1,1 对称性的意义 当 f 为空间转动时，取转动矢量为 ，它的方向为转轴方向，θ 是转角的大小， 为转动算符。其显式为 ，其中 , 为角动量算符。 对给定系统，变换是否对称变换要由系统的运动方程在 作用下是否改变来决定，即要看 ψ 和 ψ 是否满足同一方程，设 ψ 满足Schrodinger 方程， （ 1.3 ） 是系统的 Hamilton 算符。 FˆLieFˆ.)(ˆLˆFˆFˆHtiˆHˆ10§1,1 对称性的意义 假定 是一个与 t 无关的算符，将其作用在方程（ 1.3 ）的两边，得 （ 1.4 ） 从上两式看出， ψ 和 ψ 满足同一方程要求 （ 1.5 ） 上式表明，一个变换是对称变换的必要而充分的条...