作业函数与导数1单调性.最值.VIP专享VIP免费

函数与导数1单调性.最值1．设函数lnln2(0)fxxxaxa。（1）当a=1时，求fx的单调区间。（2）若fx在01，上的最大值为12，求a的值。解：对函数求导得：11()2fxaxx，定义域为（0，2）当a=1时，令2112()0+1=0022xfxxxxx得（）当(0,2),()0,xfx为增区间；当(22),()0,xfx，为减函数。当01x，有最大值，则必不为减函数，且11()2fxaxx>0，为单调递增区间。最大值在右端点取到。max1(1)2ffa。2.已知函数1ln1,xfxxxa其中实数1a。（I）若a=2，求曲线yfx在点0,0f处的切线方程；（II）若fx在x=1处取得极值，试讨论fx的单调性。3.已知函数()(1)ln15,afxxaxax其中a<0,且a≠-1.（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）设函数332(23646),1(),1(){xxaxaxaaexefxxgx（e是自然数的底数）。是否存在a，使()gx在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。4.已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，aR。（1）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；（2）设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；（3）对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时，（a）1.解（1）f’(x)=12x,g’(x)=ax(x>0),由已知得x=alnx，12x=ax，解德a=2e,x=e2,两条曲线交点的坐标为（e2,e）切线的斜率为k=f’(e2)=12e,切线的方程为y-e=12e(x-).（2）由条件知Ⅰ当a.>0时，令h'(x)=0,解得x=24a,所以当024a时，h'(x)>0，h(x)在（0，24a）上递增。所以x>24a是h(x)在（0，+∞）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。所以Φ（a）=h(24a)=2a-aln24a=2a(1-ln2a)Ⅱ当a≤0时，h(x)=(1/2-2a)/2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。故h(x)的最小值Φ（a）的解析式为2a(1-ln2a)(a>o)（3）由（2）知Φ（a）=2a(1-ln2a)则Φ1（a）=-2ln2a，令Φ1（a）=0解得a=1/2当00，所以Φ（a）在(0,1/2)上递增当a>1/2时，Φ1（a）<0，所以Φ（a）在(1/2,+∞)上递减。所以Φ（a）在(0,+∞)处取得极大值Φ（1/2）=1因为Φ（a）在(0,+∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值所当a属于(0,+∞)时，总有Φ（a）≤15.已知函数，(,,abRa