第 4 讲 基本不等式第 4 讲 基本不等式【2013 年高考会这样考】 1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题． 2．考查应用基本不等式解决实际问题． 【复习指导】 1．突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练． 2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养． 基础梳理 1．基本不等式： ab≤a＋b2 (1)基本不等式成立的条件：
(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ (a，b∈R)； (2)ba＋ab≥2(a，b 同号)； (3)ab≤a＋b22(a，b∈R)； (4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)． a ＞ 0 ， b ＞ 0 a ＝ b 2ab 3．算术平均数与几何平均数 设 a＞0，b＞0，则 a，b 的算术平均数为 a＋b2 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为 ． 4．利用基本不等式求最值问题 已知 x＞0，y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 时，x＋y 有最 值是 2 p
(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 时，xy 有最大值是p24
(简记：和定积最大) 两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数 x ＝ y x ＝ y 小 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤a2＋b22；a＋b2 ≥ ab(a，b＞0)逆用就是ab≤a＋b22(a，b＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a2＋b22≥a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)； (2) a2＋b22≥ a＋b2≥ab ≥21a＋1b(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号
