大数定律与中心极限定理 应用题1． 设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为 0.5kg，标准差为0.1kg, 问（1）5000 只零件的总质量超过 2510kg 的概率是多少？(2)如果用一辆载重汽车运输这 5000 只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于 0.975？解 设第 只零件重为，，则，设 ，则是这些零件的总重量，由中心极限定理 （1）===0.0787(2) 设 汽车载重量为 吨=查表得 计算得 因此汽车载重量不能低于 2512 公斤2． 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m，先从这批木柱中随机的取 100 根，求其中至少有 30 根短于 3m 的概率？解 设是长度小于 3m 的木柱根数，则 由中心极限定理 ===0.00623． 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种蛋糕的价格是随机变量，它取 1 元，1.2 元，1.5 元的概率分别为 0.3，0.2，0.5.若售出 300 只蛋糕，（1）求收入至少 400 元的概率 （2）售价为 1.2 元蛋糕售出多于 60 只的概率。解 设第 只蛋糕的价格为，，则有分布律：11.21.50.30.20．5由此得故 （1） 设是这一天的总收入，则由中心极限定理 ===0.0003（2） 以 记 300 只蛋糕中售价为 1.2 元的蛋糕只数，于是=4.设某种商品第 n 天的价格为 Yn，令 Xn=Yn+1-Yn，Xn 独立同分布，且 Xn 期望是 0，方差是2，若该商品第一天价格是 100，则第 19 天价格在 96 到 104 之间的概率是多少？解：，，，……所以 ， 由中心极限定理，==0.49725.（10）一枚均匀硬币至少要抛多少次，才能使正面出现的频率与概率之间的差的绝对值不小于 0.05 的概率不超过 0.01？请分别用（1）切比雪夫不等式，与（2）中心极限定理给出估计。解 设至少要抛 次；“ 次抛硬币中出现正面的次数”，则， ，，正面出现的概率是；“ 次抛硬币中出现正面的频率”，于是 ，（1）由切比雪夫不等式由 ，得 即至少要抛 10000 次。（2）由中心极限定理, ,, 所以 =得 ，查表 ，由于单调增，故 ，解得 因此至少要抛 666 次6.根据经验，某宾馆电话预约的客户的实际入住率为 80%，服务台共接受了 2500个电话预约，请分别用（1）切比雪夫不等式，与（2）中心极限定理估计实际入住的人数在 1950～2050 之间的概率。解 设随机变量“2500 个电话预约的客户实际入住的人数”，则 ，，（1）由切比雪夫不等式，得（2）由中心极限定理，得，=0.98758
