§8 最小二乘估计学习目标 思维脉络 1.了解最小二乘法的原理. 2.能根据回归系数公式求线性回归方程. 3.能利用线性回归方程对总体进行估计. 1231. 最小二乘法如果有 n 个点 (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn), 可以用下面的表达式来刻画这些点与直线 y=a+bx 的接近程度 :[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…+[yn-(a+bxn)]2.使得上式达到最小值的直线 y=a+bx 就是我们所要求的直线 , 这种方法称为最小二乘法 .1232.回归直线方程 在最小二乘法中,如果用𝑥表示𝑥1+𝑥2+…+𝑥𝑛𝑛,用𝑦表示𝑦1+𝑦2+…+𝑦𝑛𝑛,则可以求得 b=(𝑥1-𝑥)(𝑦1-𝑦 )+(𝑥2-𝑥)(𝑦2-𝑦 )+…+(𝑥𝑛-𝑥)(𝑦𝑛-𝑦)(𝑥1-𝑥)2 +(𝑥2 -𝑥)2 +…+(𝑥𝑛-𝑥)2 =𝑥1𝑦1+𝑥2𝑦2+…+𝑥𝑛𝑦𝑛-𝑛𝑥 𝑦𝑥12 +𝑥22 +…+𝑥𝑛2 -𝑛𝑥2. a=𝑦-b𝑥.这样得到的直线方程称为线性回归方程,a,b 是线性回归方程的系数. 123测一测 已知 x 与 y 之间的一组数据如下表: x 0 1 2 3 y 1 2 4 6 则 y 与 x 的线性回归方程 y=bx+a,必过点( ) A.(2,3) B.(1.5,3) C.(1.5,3.25) D.(2,3.25) 解析:𝑥 =0+1+2+34=1.5,𝑦 =1+2+4+64=3.25. 因为回归直线必过点(𝑥,𝑦),所以 C 正确. 答案:C 1233. 线性回归分析利用最小二乘法估计时 , 要先作出数据的散点图 . 如果散点图呈现一定的规律性 , 我们再根据这个规律进行拟合 . 如果散点图呈现出线性关系 , 我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程 ; 如果散点图呈现出其他的曲线关系 , 我们就要利用其他的曲线进行拟合 .123总结 线性回归分析的步骤: (1)作散点图,判断两个变量是否线性相关,若是,再执行以下步骤; (2)列表 xi,yi,𝑥𝑖2,xiyi; (3)计算𝑥,𝑦, ∑𝑖=1𝑛xi2, ∑i=1nxiyi; (4)代入公式计算 b,a 的值; (5)写出线性回归方程; (6)根据回归系数的意义进行估计和判断. 123想一想设有一个回归方程 y=3-5x, 变量 x 增加一个单位时 ( )A.y 平均增加 3 个单位B.y 平均减少 5 个单位C.y 平均增加 5 个单位D.y 平均减少 3 个单位解析 : 因为回归方程中 x 的系数为 -5, 所以当 x 增加一个单位时 ,y 平均减少 5个单位 .答案 :B探究一探究二探究三探究四探究一求线性回归方程 1.求线性回归方程通常用最小二乘法,其操作过程需严格按照步骤进行. 2.求回归系数时,要先求b,再用a=𝑦-b𝑥求a.其中求b的公式有两个:b=∑𝑖=1𝑛(xi -x)(yi-y)∑i=1n(𝑥𝑖-𝑥)2 和 ...
