1 / 10 §4 高阶微分方程与微分方程组一、高阶微分方程与微分方程组的互化已给一个 n阶方程yf x y yyynn, ,,,,1设y1=y,y2=y',y3=y",⋯,yn=y(n-1)，那末解上面 n阶微分方程就相当于解下面n个一阶微分方程的方程组nnnnyyyxfxyyxyyxyyxy,,,,dddddddd2113221式中y1,y2,⋯,yn看作自变量 x的n个未知函数 . 反过来，在许多情况下，已给n个一阶微分方程的方程组也可以化为一个n阶微分方程 .比如，两个一阶微分方程的方程组21222111,,dd,,ddyyxfxyyyxfxy (1) 将方程 (1)对x求导数2211111212ddfyffyfxfxy记作21212,,ddyyxFxy (2) 从方程 (1)中解出 y2yyx yy2211,,代入方程 (2)的右边，就得到一个二阶微分方程11212,,ddyyxxy这里函数11,,yyx由函数 f1，f2所确定，因而是已知的 .所以两个一阶微分方程组可以化为一个二阶微分方程 . 二、高阶微分方程的几种可积类型及其解法2 / 10 1. y(n) = f(x) 将方程写成xfyxn 1dd积分后得到110dcxxfyxxn重复这一过程到积分 n次，就得到微分方程的通解：nnnnxxnnnnnxxnnxxcxxcnxxcnxxcdfxncxxcnxxcnxxcdxxfy01202101101202101!2!1!11!2!10002. F(x,y(n) )=0 1若能解出 y(n)，则方程化成类型 1求解 . 2若不能解出 y(n)，或解出后表达式太复杂，就设法求它的参数形式的解：设函数(t), (t) (
