千题百炼高考数学100个热点问题一第21炼多元不等式的证明版含解析VIP专享VIP免费

- 1 - / 20 第 21 炼 多元不等式的证明多元不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处如何构造合适的一元函数，本章节以一些习题为例介绍常用的处理方法。一、基础知识1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作：（1）利用条件粗略确定变量的取值范围（2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个n 元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序3、证明多元不等式通常的方法有两个（1）消元：①利用条件代入消元② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元（2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法。二、典型例题：例 1：已知2ln , ( )fxx g xfxaxbx ，其中 g x 图像在1,g 1处的切线平行于x 轴（1）确定 a 与 b 的关系（ 2 ） 设 斜 率 为 k 的 直 线 与 fx的 图 像 交 于112212,,,A xyB xyxx， 求 证 ：2111kxx解：（ 1）2lng xxaxbx'12gxaxbx，依题意可得：' 112021gabba（2） 思路：21212121lnlnyyxxkxxxx，所证不等式为2122111lnln1xxxxxx即21221211lnxxxxxxxx，进而可将21xx视为一个整体进行换元，从而转变为证明一元不等式- 2 - / 20 解：依题意得21212121lnlnyyxxkxxxx，故所证不等式等价于：212122112222112112111lnln1ln1ln1xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx令21,(1)xttx，则只需证：11ln1ttt先证右边不等式：ln1ln10tttt令ln1h xtt'111th ttth t 在 1,单调递减10h th即 ln10tt对于左边不等式：111lnln10tttt令1( )ln1p ttt，则'22111tp ttttp t 在 1 +，单调递增10p tp小炼有话说：（1）在证明不等式2122111lnln1xxxxxx时，由于12,x x 独立取值，无法利用等量关系消去一个变量， 所以考虑构造表达式12,fx x：使得不等式以12,fx x为研究对象， 再利用换元将多元不等式转变为一元不等式（2）所证不等式为轮换对称式时，若12,x x 独立取值，可对12,x x 定序，从而增加一个可操作的条件例 2：已知函数lnfxxx ．（1）求)(xf的单调区间和极值；（2）设1122,,,A xfxB xfx，且12xx ，证明：'2112212fxfxxxfxx解：（1）定义域为0,- 3 - / 20 'ln1fxx令'0fx解得：1xe∴ fx 的单...